LeetCode第337题_打家劫舍III
LeetCode 第337题：打家劫舍 III
文章摘要
本文详细解析LeetCode第337题"打家劫舍 III"，这是一道中等难度的二叉树动态规划问题。文章提供了基于深度优先搜索和动态规划的解法，包含C#、Python、C++三种语言实现，配有详细的算法分析和性能对比。适合想要提升二叉树和动态规划能力的程序员。
核心知识点： 二叉树、动态规划、深度优先搜索
难度等级： 中等
推荐人群： 具有基础数据结构知识，想要提升动态规划能力的程序员
题目描述
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个"父"房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到"这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树"。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。
示例
示例 1：
输入：root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出：7
解释：小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7
示例 2：
输入：root = [3,4,5,1,3,null,1]
输出：9
解释：小偷一晚能够盗取的最高金额 4 + 5 = 9
提示
- 树的节点数在 [1, 10^4] 范围内
- 0 <= Node.val <= 10^4
解题思路
方法：动态规划 + DFS
使用动态规划的思想，对于每个节点，我们可以选择偷或不偷两种状态。
关键点：
- 每个节点都有偷和不偷两种状态
- 如果偷当前节点，则不能偷其子节点
- 如果不偷当前节点，则可以偷其子节点
- 使用后序遍历处理节点状态
具体步骤：
- 对于每个节点，返回一个长度为2的数组
- 数组第一个元素表示不偷该节点的最大值
- 数组第二个元素表示偷该节点的最大值
- 使用后序遍历，自底向上计算最大值
时间复杂度：O(n)，其中n是节点数量
空间复杂度：O(h)，其中h是树的高度
图解思路
算法流程分析表
| 步骤 | 操作 | 状态 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 初始化 | 空节点返回 | [0,0] | 基本情况 |
| 后序遍历 | 计算左右子树 | 获取子节点状态 | 递归处理 |
| 状态转移 | 计算当前节点 | 更新最大值 | 动态规划 |
| 返回结果 | 取较大值 | 最终结果 | 完成计算 |
示例分析
root = [3,2,3,null,3,null,1]
1. 叶子节点状态：
3: [0,3]
1: [0,1]
2. 中间节点状态：
2: [3,2] // 不偷:3, 偷:2
3: [1,3] // 不偷:1, 偷:3
3. 根节点状态：
3: [7,3] // 不偷:max(2+3,3+1), 偷:3
最终结果：max(7,3) = 7
代码实现
C# 实现
public class Solution {
public int Rob(TreeNode root) {
int[] result = RobSub(root);
return Math.Max(result[0], result[1]);
}
private int[] RobSub(TreeNode root) {
if (root == null) return new int[2];
// 后序遍历
int[] left = RobSub(root.left);
int[] right = RobSub(root.right);
// 状态转移
int[] result = new int[2];
// 不偷当前节点
result[0] = Math.Max(left[0], left[1]) + Math.Max(right[0], right[1]);
// 偷当前节点
result[1] = root.val + left[0] + right[0];
return result;
}
}
Python 实现
class Solution:
def rob(self, root: TreeNode) -> int:
def rob_sub(root: TreeNode) -> List[int]:
if not root:
return [0, 0]
# 后序遍历
left = rob_sub(root.left)
right = rob_sub(root.right)
# 状态转移
# 不偷当前节点
not_rob = max(left) + max(right)
# 偷当前节点
rob = root.val + left[0] + right[0]
return [not_rob, rob]
return max(rob_sub(root))
C++ 实现
class Solution {
public:
int rob(TreeNode* root) {
vector<int> result = robSub(root);
return max(result[0], result[1]);
}
private:
vector<int> robSub(TreeNode* root) {
if (!root) return {0, 0};
// 后序遍历
vector<int> left = robSub(root->left);
vector<int> right = robSub(root->right);
// 状态转移
vector<int> result(2);
// 不偷当前节点
result[0] = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
// 偷当前节点
result[1] = root->val + left[0] + right[0];
return result;
}
};
执行结果
C# 实现
- 执行用时：92 ms
- 内存消耗：40.2 MB
Python 实现
- 执行用时：48 ms
- 内存消耗：17.2 MB
C++ 实现
- 执行用时：12 ms
- 内存消耗：24.8 MB
性能对比
| 语言 | 执行用时 | 内存消耗 | 特点 |
|---|---|---|---|
| C# | 92 ms | 40.2 MB | 代码结构清晰 |
| Python | 48 ms | 17.2 MB | 实现最简洁 |
| C++ | 12 ms | 24.8 MB | 性能最优 |
代码亮点
- 优雅的状态转移设计
- 高效的后序遍历策略
- 简洁的状态表示方式
- 清晰的递归结构
常见错误分析
- 忽略空节点处理
- 状态转移计算错误
- 递归返回值设计不当
- 未考虑所有可能情况
解法对比
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| 动态规划 | O(n) | O(h) | 效率高 | 代码复杂 |
| 记忆化搜索 | O(n) | O(n) | 易实现 | 空间消耗大 |
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