LeetCode 72. 编辑距离（Edit Distance）| 动态规划详解

72. 编辑距离

题目描述

给你两个单词 word1 和 word2，请计算将 word1 转换为 word2 所需的最少操作数。

你可以对一个单词进行以下三种操作：

• 插入一个字符

• 删除一个字符

• 替换一个字符

✅ 示例 

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (替换 h 为 r)
rorse -> rose (删除 r)
rose -> ros (删除 e)

解题思路：动态规划（DP）

✅ 状态定义

dp[i][j] 表示将 word1[0:i] 转换为 word2[0:j] 的最小操作数。

✅ 状态转移方程

• 如果 word1[i - 1] == word2[j - 1]，当前字符相等，不需要额外操作：

  dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  

• 否则，取三种操作的最小值：

dp[i][j] = min(
    dp[i - 1][j] + 1,     # 删除 word1[i - 1]
    dp[i][j - 1] + 1,     # 插入 word2[j - 1]
    dp[i - 1][j - 1] + 1  # 替换 word1[i - 1] 为 word2[j - 1]
)

✅ 边界初始化

• dp[0][j] = j：将空字符串变成 word2 的前 j 个字符，需插入 j 次。

• dp[i][0] = i：将 word1 的前 i 个字符变为空字符串，需删除 i 次。

Python代码实现 

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        m, n = len(word1), len(word2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

        # 初始化边界
        for i in range(m + 1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(n + 1):
            dp[0][j] = j

        # 状态转移
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
                else:
                    dp[i][j] = min(
                        dp[i - 1][j] + 1,     # 删除
                        dp[i][j - 1] + 1,     # 插入
                        dp[i - 1][j - 1] + 1  # 替换
                    )
        return dp[m][n]

图解示意 

假设：
word1 = "horse"，word2 = "ros"

		r	o	s
	0	1	2	3
h	1	1	2	3
o	2	2	1	2
r	3	2	2	2
s	4	3	3	2
e	5	4	4	3

最终答案是 dp[5][3] = 3

⏱️ 时间 & 空间复杂度 

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