离散数学图论整理

明天就要考试了紧急整理一波基础知识

图的基本概念

• 无向图G=
  • 无向边(v_j,v_k)，顶点数|V(G)|，边数|E(G)|
  • 表示
    • 关联矩阵：m_ij表示关联次数，e_i和v_j
• 有向图D=
  • 有向边e_k=j,v_k>，顶点数|V(D)|，边数|E(D)|
  • 关联：e_k和v_i/v_j的关系
  • 关联次数：端点不相关联为0，关联且端点不同为1，环为2
  • 邻域：与顶点v相邻的所有点组成的集合（不包括自身）
  • 闭邻域：v的邻域+v
  • 关联集：与v关联的所有边的集合
  • 表示
    • 邻接矩阵：a_ij⁽¹⁾表示v_i邻接到v_j边的条数
    • 可达矩阵：可达为1，不可达为0（默认p_ii=1）
• 零图：无边的仅由孤立点组成的图
• 平凡图：1阶零图
• 度数d(v)：端点次数之和
  • 最大度：Δ(G)
  • 最小度：δ(G)
  • 悬挂定点：度数为1的顶点
  • 悬挂边：和悬挂顶点相关联的边
• 完全图
  • 无向完全图K_n：边数m=n(n-1)/2,度Δ=δ=n-1
  • 有向完全图：边数m=n(n-1),入度/出度Δ⁺=Δ^-=δ⁺=δ^-=n-1,度Δ=δ=2(n-1)
• （有向简单图）竞赛图：基图为K_n
  • n(n>=2)阶竞赛图中都有哈密顿通路
• （无向简单图）k-正则图：每个顶点度为k
• 子图/母图/真子图
  • 生成子图：顶点和母图相同的子图
  • V^’导出子图G[V’]：顶点集+和这些顶点关联的所有边作为边集
  • E^’导出子图G[E’]：边集+和这些边关联的顶点作为顶点集
• 补图：顶点集和原图G相同，边集和原图G相加为K_n
• 一些操作
  • G-e删除边
  • G-E’删除边集中的边
  • G-v’/G-V’
  • 收缩边e G\e：删除e后将e的两个端点用一个新顶点代替
    通路和回路部分
• 通路/回路：顶点和边交替的序列（回路满足起点=终点）
• 简单通路/回路：边各异
  • 初级通路（路径）/回路（圈）：顶点各异边各异
    - 奇/偶圈：长度为奇/偶的圈
• 复杂通路/回路：边不各异
• 迹：边不重
• u和v连通u~v：u和v之间有通路(有向图叫可达)
• 连通图/非连通图
  • 连通分支p(G)：等价类导出子图个数（连通图p(G)=1）
• 短程线：u和v之间长度最短的通路
  • 距离：短程线长度（不连通距离为∞）
• 点割集：去掉某些点之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分点连通分支数不增加
  • 割点：元素数为1的点割集中的元素
• 边割集：去掉某些边之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分边连通分支数不增加
  • 割边/桥：元素数为1的边割集中的元素
• 点连通度k(G)[符号是比k稍微矮一点的样子，打不出来]：点割集中元素最少的个数
  • k-连通图：k非负且点连通度≥k
• 边连通度λ(G)：边割集中元素最少的个数
  • r-连通图：r非负且边连通度≥r
• （有向图）连通
  • 弱连通：略去方向得到的无向图连通
  • 单向连通：任意两点v_i,v_j，总有v_i→v_j或v_j→v_i成立
  • 强连通：任意两点双向互相可达
• 极大路径：始点或终点始终不与通路外顶点相连
  • 扩大路径法：只要始点或终点和通路外点相连，就把它们加到路径里来，如此的到极大路径的方法
• 二部图/二分图/偶图*1,V₂,E>*：无向图
  • 互补顶点集：V₁和V₂
  • 简单二部图
  • 完全二部图K_r,s：V₁的每个顶点都和V₂的每个顶点相邻
    欧拉图与哈密顿图
    欧拉图/E图（走全边）
• 欧拉通路：所有边和顶点都走遍且仅走一次
  • 半欧拉图：有欧拉通路却没有欧拉回路的图
• 欧拉回路：所有边和顶点都走遍且仅走一次（起始点=终点）
  • 欧拉图：有欧拉回路的图
  • 平凡图是欧拉图
  • 弗洛伊德算法求回路：原则能不走桥就不走，除非无边可走
    哈密顿图/H图（走全点）
• 哈密顿通路（初级通路）：经过所有顶点一次且仅一次的通路
  • 半哈密顿图：有哈密顿通路但没有哈密顿回路的图
• 哈密顿回路（初级回路）：经过所有顶点一次且仅一次的回路
  • 哈密顿图：有哈密顿回路的图
• 一些例子
  • 完全二部图K_r,s（r≠s）不是哈密顿图
  • K_n是哈密顿图
• 迪杰斯特拉Dijkstra算法：求源点到其他各点的最短路径
  • 辅助集合S：存储已经得到最短路径的顶点
  • 辅助数组Dist：Dist[k]当前所求得得从源点到顶点k的最短距离（直接or辗转很多点）
• 中国邮递员问题：走遍所有边所需的最短路径
  • 欧拉图：走欧拉回路
  • 非欧拉图：偶数个奇度顶点，走全部路径+奇度顶点间最短路径
• 货郎担问题：求最短的哈密顿回路
  • NP难问题，没有有效算法
  • K_n中有(n-1)!条不同的哈密顿回路
    树
    基本概念
• 有向树：基图是无向树的有向图
• 根树：只有一个顶点入度0，其他顶点入度为1的有向树
  • （有向树）树根：入度为0的结点
  • 平凡根树：平凡图
  • r叉树：每个分支点至多有r个儿子
  • r叉有序树/r叉正则有序树
  • r叉正则树：每个分支点恰有r个儿子
  • r叉完全正则树：树叶层数相同的r叉正则树
• 树叶（悬挂定点）：度为1的结点
  • （有向树）入度1，出度0的结点
• 分支点（内点）：度≥2的结点
  • （有向树）树根+内点
• （有向树）层数：从树根到v的通路长度
• （有向树）树高：T中层数最大顶点的层数（默认树根层数0）
• 生成树：T是G的生成子图且是树
  • 树枝：T中的边
  • 弦：不在T中的边
  • 余树【非T，上面的杠打不出来】：全体弦组成的集合的导出子图
• 基本回路/圈C_r：添加一条弦e_r^’，使得该弦和其他树枝可以组成一个圈
  • 基本回路系统：{C₁,C₂,C₃,…,C_m-n+1}
  • 圈秩ξ(G):m+n-1
• 基本割集：只含树枝的割集
  • 基本割集系统：{S₁,S₂,S₃,…,S_n-1}
  • 割集秩η(G):n-1
• 最小生成树
  • 避圈法(Kruskal)：权从小到大排列，从小开始取，和前面取过的边不构成圈则加入生成树
• 最优二叉树（树叶带权）
  • Huffman算法：每次取最小的两个结点，加上一个无权的根组成一棵树放回，反复以上步骤直到所有初始结点都放到一棵树上
  • 最优前缀码
• 行遍或周游根数T
  • 波兰符号/前缀符号法：前序遍历树得到序列（符号放在数前），中序遍历得到算式
  • 逆波兰符号/后缀符号法：后序遍历得到序列（符号放在数后），中序遍历得到算式
    平面图
• 平面图/可平面图G：可以除顶点外处处无边相交的改画G
  • 平面嵌入：画出无边相交的平面图
  • 非平面图：无平面嵌入的无向图
    • K₅和K_3,3都是非平面图
• 面：平面嵌入的边将平面划分成若干个区域
  • 无限面/外部面R₀：面积无限的面
  • 有限面/内部面R_k：面积有限的面
  • 面R_i边界：包围R_i的所有边组成的回路
  • 面R1_i次数deg(R_i)：R_i边界的长度
• 极大平面图：是平面图，在任意两个不相邻顶点加边都是非平面图
• 极小非平面图：是非平面图，但任意删一条边就变成平面图
  • K₅和K_3,3都是极小非平面图
  • 极小非平面图是简单图
• 同胚：反复插入或消去2度顶点所得图同构
• 对偶图
  • 自对偶图：对偶图和自己同构
  • 轮图W_n：n-1边形C_n-1中放一个顶点，将这个顶点和C_n-1上所有顶点相连
    • 轮图是自对偶图
  • 对偶图点色数 等价于 原图面色数
    支配与匹配
• 支配集：点集，支配集中的点总和任意不在支配集中的点间有边
  • 极小支配集：V^*真子集不是支配集
  • 最小支配集及支配数γ₀(G)：元素个数最少
    - 完全图/轮图/星形图γ₀(G)=1
• 点独立集：点集，集合中顶点不相邻
  • 极大点独立集：再加顶点就不独立了
  • 最大点独立集及点独立数β₀(G)：元素个数最多
• 点覆盖集：所有边都能在点覆盖集中找到与其关联的那个点
  • 极小点覆盖集：V^*真子集不是点覆盖集
  • 最小点覆盖及点覆盖数α₀(G)：元素个数最少
• 边覆盖集：所有点都能在边覆盖集中找到与其关联的那条边
  • 极小边覆盖集：E^*真子集不是边覆盖集
  • 最小边覆盖及点覆盖数α₁(G)：元素个数最少
• 匹配（边独立集）：边集，集合中边不相邻
  • 极大匹配：再加边就不独立了
  • 最大匹配及匹配（边独立）数β₁(G)：元素个数最多
  • 匹配边/非匹配边：M中的边/非M中的边
  • 饱和点/非饱和点：与M相关联的顶点/不与M相关联的顶点
  • 完美匹配：G中每个顶点都是饱和点
    - （二部图）完备匹配：V₁中点都是饱和点
    - （二部图）完美匹配：|V₁|=|V₂|
  • 交错路径：匹配边和非匹配边交错构成的路径
  • 可增广交错路径：起点和终点都是非饱和点的交错路径
  • 交错圈：匹配边和非匹配边交错构成的圈
    着色
• k-点可着色的：可以用k种颜色给G的顶点着色，使得相邻顶点不同色
  • 色数X(G)[扭曲的X那个符号]：是k-可着色的，但不是k-1-可着色的
    • G是零图 当且仅当 色数为1
    • 完全图色数为n
    • 偶圈色数为2，奇圈色数为3
    • 奇数阶轮图色数为3，偶阶为4
    • G是二部图 当且仅当 G的色数为2
• k-面可着色的
  • 面色数X(G)*
• k-边可着色的
  • 边色数X’(G)

定理

• （度和顶点关系）握手定理：顶点度数之和等于边数的两倍
  • 有向图额外：入度之和=出度之和=边数
  • 推论：偶数个奇度顶点
• 可图化：非负整数列+度序列之和为偶数
  • n阶无向简单图，最大度Δ(G)≤n-1（判断简单图必要条件）
• 同构：结点和边一一对应+同样的关联关系
• （通路存在）n阶图G中，u到v存在通路，则存在长度≤n-1的通路（推论：初级通路）
• （回路存在）n阶图G中，u到v存在回路，则存在长度≤n的回路（推论：初级回路）
• （有关距离）距离非负
  • d(u,v)=d(v,u)
  • d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w)
• （连通度和最小度的关系）：无向连通图G，k(G)≤λ(G)≤δ(G)
• （有向图强连通）强连通 当且仅当 存在经过所有顶点的回路
• （有向图单向联通）单向连通 当且仅当 存在经过所有顶点的通路
• （二部图判别）无向图G(n>=2)是二部图 当且仅当 G中无奇圈
  • n阶(n>=2)零图是二部图
    欧拉图和哈密顿图
• （欧拉图判定）无向图G是欧拉图 当且仅当 G连通且无奇度数顶点
• （欧拉图判定）有向图D是欧拉图 当且仅当 D强连通且每个顶点入度等于出度
• （半欧拉图判定）无向图G是半欧拉图 当且仅当 G连通且恰有2个奇度数顶点
• （半欧拉图判定）有向图D是半欧拉图 当且仅当 D单向连通且恰有2个奇度数顶点(其中一个入度=出度+1，另一个出度=入度+1，其余顶点入度=出度)
• （非平凡的欧拉图判定）无向图G是非平凡的欧拉图 当且仅当 G连通且为若干边不重的圈之并
• （无向哈密顿图必要条件，判断某图不是哈密顿图）对于所有非空顶点子集，都有p(G-V₁)≤|V₁|
  • （无向哈密顿图充分条件，哈密顿图不一定满足这个性质）如果上述定理中n≥3且进一步有d(u)+d(v)≥n，则存在哈密顿回路
• （无向半哈密顿图必要条件，判断某图不是半哈密顿图）对于所有非空顶点子集，都有p(G-V₁)≤|V₁|+1
• （无向半哈密顿图充分条件，半哈密顿图不一定满足这个性质）无向简单图，任意不相邻顶点u,v，都有d(u)+d(v)≥n-1，则存在哈密顿通路
  - 上述反例：彼得森图
• （无向哈密顿图的充要条件）无向简单图G中存在两个不相邻顶点u,v，且d(u)+d(v)≥n，则G∪(u,v)是哈密顿图
  树
• （判定树的5个等价条件，无向图G）
  • G中任意两个顶点间存在唯一路径
  • G无回路 且 边m=n-1
  • G连通 且 m=n-1
  • G连通 且 任何边都是桥
  • G中没有回路 且 任意不同顶点间加边之后产生唯一一个圈
• （树和树叶）n阶非平凡无向树，至少有两片树叶
• （生成树存在？）无向图G具有生成树 当且仅当 G连通
  • （边和顶点的关系）G为n阶m边的无向连通图，则m>=n-1
  • （余树的边）余树的边为m-n+1
  • （圈与圈中边的归属）G中的圈一定和余树有公共边
  • （正则树中树叶和分支点数关系）r叉正则树，树叶t，分支点数i，则(r-1) i=t-1
    平面图
• 平面图的子图都是平面图，非平面图的母图都是非平面图
• （环/平行边与平面图）平面图加环或者平行边不影响平面性
• （面的次数与边数）各面次数之和＝边数*2
• （极大平面图）极大平面图连通，且（n>=3阶的极大平面图）不可能有割点和桥
• （极大平面图判定）G是n>=3阶简单连通平面图，则G是极大平面图 当且仅当 G的每个面次数均为3
• （平面图判定）G是平面图 等价于 G中不含与K₅和K_3,3同胚的子图 等价于 G中无可收缩为K₅和K_3,3的子图
  欧拉公式
• （边/面/顶点关系，欧拉公式）G为n阶m边r面的连通图，则n-m+r=2
  • （连通分支为k>=2）则n-m+r=k+1
• （边/次数/顶点关系）G连通且deg(R_i)>=l,l>=3，则m<=[l*(n-2)]/(l-2)
  • 可由此证明K₅和K_3,3都是非平面图
  • （连通分支为k>=2）G连通且deg(R_i)>=l,l>=3，则m<=[l*(n-k-1)]/(l-2)
• （边/顶点关系）G是n<=3阶m边简单平面图，m<=3n-6
  • （极大平面图）G是n<=3阶m边极大平面图，m=3n-6
• （最小度）G是简单平面图，则最小度δ(G)<=5
• （图与对偶图）n/m/面数r和n*/m*/面数r* 有 n*=r,m*=m,r*=n（n*-m*+r*=2）
  • (k个连通分支) n*=r,m*=m,r*=n-k+1（n*-m*+r*=2）
• 对偶图性质
  • 是平面图，且是平面嵌入
  • 是连通图
  • G中环对G^*桥，G中桥对应G^*中环
  • 通常是多重图
  • 同构的平面图的对偶图不一定同构
    支配与独立
• （极小支配集与极大点独立集）无向简单图G中无孤立点，则G的极大点独立集都是极小支配集，反之不一定
• （判定点覆盖）V是点覆盖 当且仅当 V-V是点独立集，即α₀(G)+β₀(G)=n
• （边匹配与覆盖）β₁(G)≤α₁(G)，α₁(G)+β₁(G)=n
• （匹配/覆盖关系）匹配|M|<=边覆盖|W|，取等时M是完美匹配，W是最小边覆盖
• （最大匹配判定定理）最大匹配M 当且仅当 G中不含M的可增广交错路径
• （二部图完备匹配，Hall定理）二部图1,V₂,E>是完备匹配 当且仅当 V₁中任意k个顶点至少与V₂k个顶点相连(k=1,2,…,|V₁|)
• (二部图完备匹配，t-条件) 二部图1,V₂,E>是完备匹配+V₁每个顶点至少关联t条边+V₂中每个顶点至多关联t条边
  着色
• （色数与最大度）X(G)<=Δ(G)+1
  • （G不是K_n，也不是奇数阶的圈）X(G)<=Δ(G)
• （面着色）G是k-面可着色的 当且仅当 它的对偶图是k-点可着色的
• （边色数取值）只能是Δ(G)或Δ(G)+1
  • (二部图)边色数为Δ(G)
  • （轮图）奇阶轮图边色数为n-1（n>=4）
  • （完全图）n(≠1)是奇数边色数为n，偶数则为n-1

因为时间仓促没有配图，若有错误望指正，感谢！