离散数学篇-关系性质总结

关系性质总结表

1. 基本关系性质

性质名称	箭头描述	形式化描述	复合关系描述
函数 (Function)	“≤1出”	$\forall a\in A,\exists \le 1b\in B.aRb$	$R^{-1}\circ R\subseteq I{d}_A$
全的 (Total)	“≥1出”	$\forall a\in A,\exists \ge 1b\in B.aRb$	$R^{-1}\circ R\supseteq I{d}_A$
单射 (Injective)	“≤1入”	$\forall b\in B,\exists \le 1a\in A.aRb$	$R\circ R^{-1}\subseteq I{d}_B$
满射 (Surjective)	“≥1入”	$\forall b\in B,\exists \ge 1a\in A.aRb$	$R\circ R^{-1}\supseteq I{d}_B$
双射 (Bijective)	“=1入出”	既是单射又是满射的函数	无直接对应

2. 复合关系描述

表达式	读法	等价描述	对应性质
$R\circ R^{-1}\subseteq I{d}_B$	“$R$ 与逆的复合包含于 $B$ 的恒等”	不同 $b$ 不能有相同 $a$ 映射	单射
$R^{-1}\circ R\subseteq I{d}_A$	“逆与 $R$ 的复合包含于 $A$ 的恒等”	每个 $a$ 最多映射到一个 $b$	函数
$R^{-1}\circ R\supseteq I{d}_A$	“逆与 $R$ 的复合包含 $A$ 的恒等”	每个 $a$ 至少映射到一个 $b$	全的
$R\circ R^{-1}\supseteq I{d}_B$	“$R$ 与逆的复合包含 $B$ 的恒等”	每个 $b$ 至少有一个 $a$ 映射	满射

3. 记忆技巧

1. 方向记忆：

   • $R\circ R^{-1}$：关注输出端($B$)的唯一性/覆盖性 $\to$ 单射/满射
   • $R^{-1}\circ R$：关注输入端($A$)的唯一性/存在性 $\to$ 函数/全的

2. 包含符号：

   • $\subseteq$："限制"性质（唯一性）
   • $\supseteq$："保证"性质（存在性）

3. 恒等关系：

   • $I{d}_A$：关于定义域 $A$ 的性质
   • $I{d}_B$：关于陪域 $B$ 的性质

4. 典型反例

1. 非单射：$A=\{1\},B=\{2,3\},R=\{(1,2),(1,3)\}$

   • 违反 $R\circ R^{-1}\subseteq I{d}_B$，因为 $(2,3)\in R\circ R^{-1}$

2. 非函数：$A=\{1,2\},B=\{3\},R=\{(1,3),(2,3)\}$

   • 满足 $R^{-1}\circ R\supseteq I{d}_A$ 但违反 $R^{-1}\circ R\subseteq I{d}_A$

参考资料

• 问题4.23
• 问题4.24