斐波那契数列各种方法求解

斐波那契数列各种方法求解

斐波那契数列（Fibonacci sequence）是指这样一组数字：1、1、2、3、5、 8、 13······，可以由递推公式F(n) = F(n-1)+F(n-2)得出，其初始值为：F(1) = 1, F(2) = (1) 。
在刷题的过程中，遇到了许多关于斐波那契数列变形的题目，所以在这里总结一下关于该数列的各种求解方法。

方法一：递归求解

主要是利用的斐波那契数列的递推公式实现。

int fibonacci(int n)
{
	if(n <= 1)
		return n;
	return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}

复杂度分析

时间复杂度：O(2^n)。
空间复杂度：O(n)。

方法二：正向求解

上述递归方法中，采用的是从n开始递归向前求解，这里可以选用正向求解的方法，一次计算F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，······直到F(n)。

int fibonacci(int n)
{
	if(n <= 1)
		return n;
	int f1 = 0;
	int f2 = 1;
	int res;
	for(int i = 1; i < n; i++)
	{
		res = f1 + f2;
		f1 = f2;
		f2 = res;
	}
	return res;
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。
空间复杂度：O(1)。

方法三：公式求解

斐波那契的通项公式为：
$$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n].$$

int fibonacci(int n)
{
	if(n <= 1)
		return n;
	double sqrt_5 = sqrt(5);
	return (1 / sqrt_5) * (pow((1 + sqrt_5)/2,n+1) - pow((1 - sqrt_5)/2, n + 1));  
}

复杂度分析

时间复杂度：O(log(n))，因为上述公式中用到了pow 函数，故需要 log(n) 的时间。
空间复杂度：O(1)。

方法四：动态规划法

该问题也可以利用动态规划的方法进行求解。
斐波那契的第i个数据为第i-1个数与第i-2个数之和，令dp[i]表示第i个数据的值，则有：
$$dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2].$$
初始值为：dp[[1]] = 1, dp[[2]]= 1;

int fibonacci(int n)
{
	vector<int> dp(n+1);
	dp[1] = 1;
	dp[2] = 1;
	for(int i = 3; i <= n; i++)
	{
		dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
	}
	return dp[n];
}

这个方法与正向求解方法其实本质上是一致的。但在空间复杂度上是不一样的。

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。
空间复杂度：O(n)，动态数组dp需要n的空间。

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还有一些方法之后补充