离散数学 第四篇 图论01 图的基本概念

1. 无序积

用符号 (a,b) ( a , b ) 来表示，与序偶类似，但是序偶是有顺序的，就是有方向的，而无序积是无向的

2. 图的表示

2.1 图的集合表示

G={<V,E>} G = { < V , E > }

2.2 图的图形表示

2.3 邻接矩阵

第 i i 个点到第 j j 个点有一条边，则邻接矩阵第 i i 行 j j 元素

2.4 邻接点与邻接边

环：两个端点相同的边，又称为自回路

零图：仅有孤立结点组成的图
平凡图：仅含一个结点的零图
（n,m）阶图：含有n个结点，m条边的图

2.5 图的分类

2.5.1 有无方向分

无向图：
每条边都无向
有向图：
每条边都有向
混合图：
边集里既有无向边又有有向边

2.5.2 有无平行边

多重图：
有平行边的图，在无向图中，连个节点有复数条边即为有平行边，而在有向图中，还需边方向一致。
平行边的条数为边的重数

2.5.3 边或节点有无含权 分

2.6 图的操作

删除结点：
G−V′ G − V ′
注意，删掉结点，也就删去了结点为端点的边

边的收缩：
G∖e G ∖ e
将边的两个端点用一个新的节点来代替

加新边：
G G

2.7 子图

2.8补图

类比于集合的概念，完全图即论域（全集），完全图删去图 A A ，剩下的就是 A A 的补图 B B

2.8 结点的度数与握手原理

邻接矩阵与度数计算
设 A A 的邻接矩阵为：

A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜0000110000010000010000010⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ A = ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 )

则 A A 中第几行元素之和为第几个结点的出度数
A A 中第几列元素之和为第几个结点的入度数

握手原理及其推论
所有结点的度数等于边数的两倍
1、度数为奇数的结点数为偶数
2、所有结点的 入度数=出度数=边数 入 度 数 = 出 度 数 = 边 数

2.9 图的同构