CodeForces - 1264D2 Beautiful Bracket Sequence（生成函数 + 组合计数）

大致题意

给你一个由左右括号和?组成的字符串，现在?可以替换成左右括号的任意一个。定义一个字符串的深度为最大的左右括号嵌套数。现在问，所有的替换方案产生的字符串的深度总和是多少。

做法

如果有$n$括号，那么就会有$2^n$个字符串，显然直接计算不可以。

考虑一个字符为 ‘(’ 的位置$i$，如果他要对最后的深度产生影响，当且仅当它和它左边的 ‘(’ 数目小于等于它右边的 ‘)’ 数目。那么，我们就可以考虑枚举每一个位置，看每一个位置对最后答案的贡献。

考虑位置$i$，它和它左边有$a$个左括号，$b$个问号，它右边有$c$个右括号，$d$个问号。那么显然，它的贡献就是：
$$\sum _{a+x<c+y}C(b,x)\ast C(d,y)$$
令$z=d-y$，那么可以写成：
$$\sum _{x+z<c+d-a}C(b,x)\ast C(d,z)$$
我们知道，对于组合数$C(n,m)$，他的生成函数是$(x+1{)}^n$，其中第$m$项系数就是$C(n,m)$的答案。那么上式可以写成两个生成函数的乘积。
$$(x+1{)}^b\ast (x+1{)}^d=(x+1{)}^{b+d}$$
由于$x+z<c+d-a$，所以答案就是：
$$\sum _{k<c+d-a}C(b+d,k)$$
然后我们发现，$b+d$相当于是所有问号的个数是一个固定的值，也就只需要求一次组合数的前缀和即可。因此直接对每个为左括号的位置统计贡献即可。对于为问号的位置，由于它也可以变成左括号，因此我们要把他们变成左括号统计他们的贡献，这时$b+d$会减一。相当于总的只需要求两次组合数的前缀和即可，时间复杂度$O(N)$。

代码

懒得写线性求逆了，实际复杂度$O(NlogN)$，但是可以写到$O(N)$。

#include
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-5
#define pi 3.141592653589793
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define bug(x) cerr<<#x<<"      :   "<
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;

const int mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 7;

unordered_map<int,vector<int> > mp;
char s[N];

LL qpow(LL x,LL n)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if (n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod; n>>=1;
    }
    return res;
}

LL cal(LL l,LL r,LL L,LL R)
{
    LL n=L+R,m=r+R-l;
    if (m<0) return 0;
    if (n<m) m=n;
    if (mp.count(n)) return mp[n][m];
    LL res=1,sum=1;
    std::vector<int> v;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        v.pb(sum);
        res=res*(n-i)%mod*qpow(i+1,mod-2)%mod;
        sum=(sum+res)%mod;
    }
    mp[n]=v;
    return mp[n][m];
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    LL ans=0;
    scanf("%s",s);
    int len=strlen(s);
    int l=0,L=0,r=0,R=0;
    for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        if (s[i]==')') r++;
        if (s[i]=='?') R++;
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
    {
        if (s[i]=='(') l++;
        if (s[i]=='?') L++,R--;
        if (s[i]==')') r--;
        if (s[i]=='(')ans=(ans+cal(l,r,L,R))%mod;
        if (s[i]=='?')
        {
            l++,L--;
            ans=(ans+cal(l,r,L,R))%mod;
            l--,L++;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}