平面几何基本知识——学习笔记(2)

7.向量的旋转

向量可以绕起点旋转，如果向量（x,y）逆时针旋转a（a用弧制度表示），公式：

x0=xcosa-ysina
y0=xsina+ycosa

代码：

data Rotate(data x,double rad)
{
    return data(x.x*cos(rad)-x.y*sin(rad),x.x*sin(rad)+x.y*cos(rad));
}

8.点在直线上的投影点

在平面几何基本知识——学习笔记(1)中曾经说过关于点到线段的距离时提到过一个点q，但实际上这个点是有专名的，叫点在直线上的投影点，怎么说呢，投影点与直线外的点的连线的直线，刚好与原直线互相垂直。

给个例子，一切都明朗了，点Q就是点P关于直线AB所对应的投影点。
尽管在求点到直线（线段）距离中巧妙的避开了这个坑，但是某些作死题就是不放弃。所以为了求出点Q，要先把AB用参数方程A+tv表示，然后如果Q的参数为t0，那必有Q=A+t0*v，由于PQ垂直于AB，所以利用点积=向量A的长度向量B的长度两个向量的夹角的cos值，cos90度=0，所以PQ和AB的点积等于0。即：

dot(v,P-(A+t0v))=0

然而根据蓝书上的指引，点积竟然还满足分配率！！！拆开来：

dot(v,P-A)-t0*dot(v,v)=0

问题就成解有关t0的方程了，求出之后套参数方程即可求出投影点。

data getLm(data A,data B,data P)
{
    data v=B-A;
    return A+v*(dot(v,P-A)/dot(v,v));
}

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9.凸多边形

凸多边形在数学上早已定义过，所以这里只讲如何判定，是zzkksunboy神犇教我的，主动加粗手动膜拜。Orz Matchperson。

用点积可以判断两个向量的夹角终边的位置，如果点积为正，夹角的终边在一，四象限，反之在二，三象限。那么由于在非凸多边形中至少有一个角大于π，所以非凸多边形的相邻两条边对应的向量的点积一定是负的，如果全程都没有点积是负的，那么这个多边形就是凸多边形。

//有的题目需要根据给出的点顺时针逆时针分别判断
bool check_Tu()
{
    bool f=true;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      if (fcmp(cross(a[i%n+1]-a[i],a[(i-2+n)%n+1]-a[i]),0)<0) {f=false; break;}
    if (f) return true;
    for (int i=1;i<=n;i++)
      if (fcmp(cross(a[(i+n-2)%n+1]-a[i],a[i%n+1]-a[i]),0)<0) return false;
    return true;
}

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10.求多边形面积

如果是个凸多边形，可以从某一个顶点出发，把凸多边形分成n-2个三角形，然后累加面积。

但是面对于非凸多边形，……或许有人已经发现，因为叉积是有正负的，事实上，因为三角形面积是有向的，在外面的部分可以正负抵消掉，所以这个方法可以推广到所有多边形。
还有一点建议，可以选择一个多边形上节点来划分顶点，可以减少计算量^_^
还有，点要按顺序求……不然下场很惨……

double getDS()
{
    double tem=0;
    for (int i=2;icross(p[i]-p[1],p[i+1]-p[1]);
    return tem/2;
}