剑指Offer面试题30（java版）：最小的k个数

题目：输入n个整数，找出其中最小的k个数。例如输入4，5，1，6，2，7，3，8这8个数字，则最小的4个数字是1，2，3，4

这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，排序之后位于最前面的k个数就是最小的k个数。这种思路的时间复杂度是O(nlogn）,面试官会提示我们还有更快的算法。

解法一：O(n)的算法，只有当我们可以修改输入的数组时可用

从上一题中我们可以得到启发，我们同样可以基于Partition函数来解决这个问题。如果基于数组的第k个数字来调整，使得比第k个数字小的所有数字都位于数组的左边，比第k个数字大的所有数字都位于数组的右边。这样调整之后，位于数组中左边的k个数字就是最小的k个数字。下面是基于这种思路的Java代码：

/**
 * 输入n个整数，找出其中最小的k个整数，找出其中最小的k个数。
 * 例如输入4，5，1，6，2，7，3，8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3，4
 */
package swordForOffer;

/**
 * @author JInShuangQi
 *
 *         2015年8月8日
 */
public class E30KLeastNumbers {
	// 使用partition函数
	public int partition(int[] arr, int left, int right) {
		int result = arr[left];
		if (left > right)
			return -1;

		while (left < right) {
			while (left < right && arr[right] >= result) {
				right--;
			}
			arr[left] = arr[right];
			while (left < right && arr[left] < result) {
				left++;
			}
			arr[right] = arr[left];
		}
		arr[left] = result;
		return left;
	}
	public int[] getLeastNumbers(int[] input,int k){
		if(input.length == 0 || k<= 0)
			return null;
		int[] output = new int[k];
		int start = 0;
		int end = input.length-1;
		int index = partition(input,start,end);
		while(index != k-1){
			if(index > k-1){
				end = index -1;
				index = partition(input,start ,end);
			}
			else{
				start = index+1;
				index = partition(input,start ,end);
			}
		}
		for(int i = 0;i

采用这种思路是有限制的。我们需要修改输入的数组，因为函数Partition会调整数组中数字的顺序。如果面试官要求不能修改输入的数组，我们该怎么办的呢？

解法二：O(nlogk)的算法，特别适用处理海量数据

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字，接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字了而只能替换已有的数字。找出这已有的k个数中的最大值，然后拿这次待插入的整数和最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最小值小，则用这个数替换当前已有的最大值；如果待插入的值比当前已有的最大值还大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做3件事；一是在k个整数中找到最大数；二是有可能在这个容器中删除最大数；三是有可能要插入一个新的数字。如果用一个二叉树来实现这个容器，那么我们能在O(logk）时间内实现这三步操作。因此对于n个输入的数字而言，总的时间效率是O(nlogk).

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根节点的值总是大于它的子树中的任意结点的值。于是我们每次可以在O(1）得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除及插入操作。

下面是Java代码实现步骤：

/**
 * 输入n个整数，找出其中最小的k个整数，找出其中最小的k个数。
 * 例如输入4，5，1，6，2，7，3，8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3，4
 */
package swordForOffer;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author JInShuangQi
 *
 *         2015年8月8日
 */
public class E30KLeastNumbers {
	//新建大顶堆
	public void buildMaxHeap(int[] arr,int lastIndex){
		for(int i = (lastIndex-1)/2;i>=0;i--){
			int k = i;
			while(2*k+1 <= lastIndex){
				int biggerIndex = 2*k+1;
				if(biggerIndex arr.length)
			return;
		//根据输入数组前k个数简历最大堆
		//从k+1个数开始与根节点比较
		//大于根节点，舍去
		//小于，取代根节点，重建最大堆
		int[] kArray = Arrays.copyOfRange(arr, 0, k);
		heapSort(kArray);
		for(int i = k;i

解法比较：

基于函数Partition的第一种解法的平均时间复杂度是O(n)，比第二种思路要快，但同时它也有明显的限制，比如会修改输入的数组。

第二种解法虽然要慢一点，但它有两个明显的优点。一是没有修改输入的数据。二是该算法适合海量数据的输入（包括百度在内的多家公司非常喜欢与海量数据相关的问题）。假如题目是要求从海量的数据中找出最小的k个数字，由于内存的大小是有限的，有可能不能把这些海量数据一次性全部加载入内存。这个时候，我们可以辅助存储空间（比如磁盘）中每次读入一个数字，根据GetLeastNumbers的方式判断是不是需要放入容器LeastNumbers即可。这种思路只要求内存能够容纳leastNumbers即可。因此它适合的情形就是n很大并且k较小的问题。

如下图比较两种算法：

由于这两种算法各有优缺点，各自适用于不同的场合，因此应聘者在动手写代码之前要清楚题目的要求，包括输入的数据量有多大，能否一次性载入内存，是否允许交换输入数据中数字的顺序等。