动态规划题目一：最长单调递增子序列

习题3-1：最长单调递增子序列

[算法设计与实验题解 page 63]

问题描述：
所谓子序列，就是在原序列里删掉若干个元素后剩下的序列，以字符串"abcdefg"为例子，去掉bde得到子序列"acfg"
现在的问题是，给你一个数字序列，你要求出它最长的单调递增子序列。

输入：
多组测试数据，每组测试数据第一行是n(1<=n<=10000)，下一行是n个比1e9小的非负整数

输出：
对于每组测试数据输出一行，每行内容是最长的单调递增子序列的长度

样例输入：
5
1 2 4 8 16
5
1 10 4 9 7
9
0 0 0 1 1 1 5 5 5

样例输出：
5
3
3

我的Java 代码一：

/**
 * 算法时间复杂度是O(n^2)
 * 用数组b[0:n-1]记录以a[i],0<=i<n为结尾的元素的最长的递增子序列长度
 * 序列a的最长的递增子序列的长度是max{b[i]}(0<=i<n)，b[i]满足最优子结构，可以递归的定义：
 * b[0]=1;b[i]=max{b[k]}+1 (0<=k<i,a[k]<a[i])
 */
import java.util.Scanner;

public class LIS {

    public static int l;
    public static int maxl;
    public static int[] a;
    public static int[] b;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sin=new Scanner(System.in);
        while(sin.hasNext()){
            l=sin.nextInt();
            a=new int[l];
            b=new int[l];//记住数组一定要初始化给定一个大小，不然后面赋值时会报空指针错误
            for(int i=0;i<l;i++){
                a[i]=sin.nextInt();
            }
            maxl=dp();
            System.out.println(maxl);
        }
    }
    private static int dp() {
        int i,j,k,t;
        t=0;
        b[0]=1;
        for(i=0;i<l;i++){
            k=0;
            for(j=0;j<i;j++){
                if(a[i]>a[j] && k<b[j]){
                    k=b[j];
                }
            }
            b[i]=k+1;
        }
        for(i=0;i<l;i++){
            if(t<b[i]){
                t=b[i];
            }
        }
        return t;
    }
}

我的Java 代码二：

/**
 * 算法时间复杂度是O(nlog(n))
 * 通过归纳假设得到问题变为：已知计算序列a的最长的递增子序列的长度k以及序列
 * a中所有长度为k的递增子序列中的最小结尾元素b[k]
 */
import java.util.Scanner;

public class LIS2 {

    public static int l;
    public static int maxl;
    public static int[] a;
    public static int[] b;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sin=new Scanner(System.in);
        while(sin.hasNext()){
            l=sin.nextInt();
            a=new int[l];
            b=new int[l+1];
            for(int i=0;i<l;i++){
                a[i]=sin.nextInt();
            }
            dp();
            System.out.println(maxl);
        }
    }
    private static void dp() {
        int i,low,up,mid;
        b[1]=a[0];
        maxl=1;
        for(i=1;i<l;i++){
            if(a[i]>b[maxl]){//此时最大长度要加1，并且要改变最小元素值
                maxl++;
                b[maxl]=a[i];
            }else if(a[i]<b[1]){//如果比第一个元素还要小，那么就换一下最小的元素值
                b[1]=a[i];
            }else{//这种情况下要找到合适的位置将a[i]插入到b中的某个位置
                
                low=1;
                up=maxl;
                
//                while(low!=up-1){//原书的写法
//                    mid=(low+up)/2;
//                    //System.out.println(low+" "+up+" "+mid);
//                    //System.out.println(b[mid]+" "+a[i]);
//                    if(b[mid]<=a[i]){//找到满足b[j-1]<=a[i]<b[j]的j(=up)
//                        low=mid;
//                    }else{
//                        up=mid;
//                    }
//                    //System.out.println(low+" "+up+" "+mid);
//                }
//                b[up]=a[i];
                
                while(low<up){//另一种写法，更加符合二分查找
                    mid=(low+up)/2;//注意条件：low等于up时就要退出了
                    //System.out.println(low+" "+up+" "+mid);
                    //System.out.println(b[mid]+" "+a[i]);
                    if(b[mid]<=a[i]){//找到满足b[j-1]<=a[i]<b[j]的j(=up)
                        low=mid+1;
                    }else{
                        up=mid-1;
                    }
                    //System.out.println(low+" "+up+" "+mid);
                }
                b[up]=a[i];
            }
        }
    }
}

其他的资源：

可供参考的资料：

1.这道题目的两种解题算法总结博客：http://old.blog.edu.cn/user2/43845/archives/2006/1115309.shtml

2.国家集训队论文 李睿的论文：〈二分法和统计研究〉：http://wenku.baidu.com/view/313fbcd126fff705cc170a18.html

3.论坛中的其他解题方法：http://yzfy.org/dis/listpost.php?tid=101