有一个n×nn\timesnn×n的矩阵AAA，满足：Ai,j={1i=j0i≠j∧i∣jCotherwiseA_{i,j}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\not=j\landi\midj\\C&\text{otherwise}\end{cases}Ai,j=⎩⎨⎧10Ci=ji=j∧i∣jotherwise求det⁡(A)\det(A)det(A)。答案模998244353

题目：https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc304_f思路：容斥原理，莫比乌斯反演应该都可以，我用的是莫比乌斯反演。

题目路径：https://www.luogu.com.cn/problem/AT_agc038_c思路：代码：#define_CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;c

1605E-ArrayEqualizer思路：代码：#define_CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;constintN=2e5+100;#defineLLlon

QwQ文章目前没有题目，只有理论知识狄利克雷卷积狄利克雷卷积（DirichletConvolution）在解析数论中是一个非常重要的工具.使用狄利克雷卷积可以很方便地推出一些重要函数和公式，它在信息学竞赛和解析数论中至关重要.狄利克雷卷积是定义在数论函数间的二元运算.数论函数，是指定义域为N\mathbb{N}N（自然数），值域为C\mathbb{C}C（复数）的一类函数，每个数论函数可以视为复数

有时我们需要求出一个范围内的质数，或者要计算一些积性函数的值，但往往题目无法承受直接判断质数、直接求函数值的时间复杂度，这时我们就可以用筛子了入门级：埃氏筛假设当前有一块板，板上写着2∼n2\simn2∼n的数，如果我们想快速找出质数，那么我们可以考虑标记那些合数，让划了斜线的数表示合数，于是我们从左往右依次看，当遇到一个质数时，就把后面他的所有的倍数都划上斜线，而这就是埃氏筛的原理for(int

对于给出的n�个询问，每次求有多少个数对(x,y)(�,�)，满足a≤x≤b，c≤y≤d�≤�≤�，�≤�≤�，且gcd(x,y)=kgcd(�,�)=�，gcd(x,y)gcd(�,�)函数为x�和y�的最大公约数。输入格式第一行一个整数n�。接下来n�行每行五个整数，分别表示a、b、c、d、k�、�、�、�、�。输出格式共n�行，每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)(�,�)的个数。数据范

思路：代码：#define_CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include#include#include#includeusingnamespacestd;constdoubleeps=1e-8;constintN=1e7+10;constlonglongmod=20101009;#defineLLlonglongintpre[N],st[N];intn,cn,m;LLmu[N];

题目背景Doris刚刚学习了fibonacci数列。用fi表示数列的第i项，那么0=0,1=1f0=0,f1=1fn=fn−1+fn−2,n≥2题目描述Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是gcd(i,j)，其中gcd(i,j)表示i,j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对109+7取模。输入格式本题单个测试点内

2440:[中山市选2011]完全平方数TimeLimit:10SecMemoryLimit:128MBSubmit:1673Solved:799[Submit][Status][Discuss]Description小X自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。这天是小X的生日，

求图中异或和，可谓经典中的经典）练习10：新Nim游戏BZOJ3105（*NIM进阶版NIM博弈+线性基）练习11：排列计数BZOJ4517（*错位排序）练习12:SkyCode（*容斥原理$莫比乌斯反演经典

题解这道题题解里说用莫比乌斯反演做（我这个蒟蒻怎么会做呢）但是不会，所以我们另想方法，这里我们用容斥来做我们先把500000以内的所有质数筛出来每次读入编号的时候，先把编号对应的这个数分解质因数然后我们

2019.6.1BZOJ3028:食物生成函数题，母函数乘起来就好了BZOJ3544:[ONTAK2010]CreativeAccounting嗯，就是可以用set维护前缀和，取后继或最小数贪心就好啦BZOJ2820:YY的GCD莫比乌斯反演

目录前导积性函数莫比乌斯函数莫比乌斯反演莫比乌斯反演定理莫比乌斯反演定理证明莫比乌斯反演另一性质(与欧拉函数有关)前导要学习莫比乌斯函数需要学习到积性函数，深度理解欧拉筛。先说说什么是积性函数吧。

积性函数及其初级应用垃圾博客，我本地LaTeX挂了，艹大量内容和入门方式都参考了莫比乌斯反演与数论函数。感谢CMD大爷！

一、数论有哪些数论原根,素数判断,质数,筛法最大公约数,gcd扩展欧几里德算法,快速幂,exgcd,不定方程,进制,中国剩余定理,CRT,莫比乌斯反演,逆元,Lucas定理,类欧几里得算法,调和级数

零、前置知识1.积性函数积性函数的定义：若(a,b)=1(a,b)=1(a,b)=1，则f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)f(a\cdotb)=f(a)\cdotf(b)f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)。常见的积性函数有：φ\varphiφ函数，μ\muμ函数等。积性函数有以下性质：若f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)均为积性函数，则h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)

Problemblink做法：莫比乌斯反演。

前置知识：杜教筛题目大意给定nnn，求∑i=1n∑j=1n∑k=1nϕ(gcd⁡(i,j,k))\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=

@[toc]题意，求。链接：hdu6715思路方法一：打表得出：进一步按套路优化，提出，令得：首先这个东西是，是一个积性函数，所以可以筛出来。这个东西可以按分别预处理出来，预处理的复杂度和埃式筛一样是，空间复杂度也是。最后上面这个式子就可以求和了。HDU数据证明，不预处理第二点更快。。。方法二：已知又因为：因此：因为当不为时：而当为时，自然也是，所以也不会影响下面这个式子：接下来的步骤和方法一就相

常见错误代码细节其它二、一些技巧一、动态规划DP设计DP优化二、字符串三、数学数论等计数四、博弈五、树上问题六、图论七、网络流八、数据结构九、其它三、一些公式组合数二项式反演min/max容斥扩展单位根反演EXCRT杜教筛四

莫比乌斯反演主要用于快速计算一些阴间式子（包含gcd⁡(i,j)\gcd(i,j)gcd(i,j)等）。至于如何应用，往下看。

莫比乌斯反演定义莫比乌斯反演公式：[n=1]=∑d∣nμ(d)[n=1]=\underset{d|n}\sum\mu(d)[n=1]=d∣n∑μ(d)其他几种莫比乌斯反演的形式：标准形式：f(n)=∑d

题目链接CF方向Luogu方向题目解法首先考虑消去gcdgcdgcd的限制考虑莫比乌斯反演优先枚举ddd可得答案为∑d=1nμ(d)∗ans(d)\sum_{d=1}^{n}\mu(d)*ans(d)∑

准备开始复习莫比乌斯反演，杜教筛这一部分，先复习一下数论分块0.随便说说数论分块可以计算如下形式的式子∑i=1nf(i)g(⌊ni⌋)\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\lfloor\frac{n

最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法、扩展欧几里得算法.素数问题:素数判断、区间素数统计.同余问题:模运算、同于方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理.不定方程.乘性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演

总所周知，杜教筛是一个可以快速求积性函数前缀和的工具，为了快速理解杜教筛，自己给自己写了一个文章快速理解。它可以在O(n2/3)的复杂度快速求出某个积性函数的前缀和。

怎么说呢，弱化forest(forest网址下次补上)就这一个弱化，就从莫比乌斯反演欧拉函数2.分析看一看图片其实我们可以沿着对角线就是一下把它变成、与(截屏截的好丑呀qwq)实际上，我们只需要求的总数给它乘二加三

#狄利克雷卷积和莫比乌斯反演>看了《组合数学》，再听了学长讲的……感觉三官被颠覆……[TOC]##狄利克雷卷积如此定义：$$(f*g)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y)$$或者可以写为

[HAOI2011]Problemb题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2522题目描述对于给出的nnn个询问，每次求有多少个数对(x,y)(x,y)(x,y)，满足a≤x≤ba\lex\leba≤x≤b，c≤y≤dc\ley\ledc≤y≤d，且gcd⁡(x,y)=k\gcd(x,y)=kgcd(x,y)=k，gcd⁡(x,y)\gcd(x,y)gcd(

[国家集训队]Crash的数字表格/JZPTAB题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数（LeastCommonMultiple）。对于两个正整数aaa和bbb，lcm(a,b)\text{lcm}(a,b)lcm(a,b)表示能同时整除aaa和bbb的最小正整数。例如，lcm(6,8)=24\text{lcm}(6,8)=24lcm(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课

让我们从一道题开始求\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j),(n首先对gcd(i,j)分类，有\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k]同时除以k=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{i=1}^{\lfloor\fra

其实我觉得这块还是挺妙的，也可能是我做DP和数据结构做疯了（1.前置知识首先您需要知道欧拉函数，狄利克雷卷积，莫比乌斯函数+莫比乌斯反演。如果不知道，可以

最简根式题目链接：SSL2402题目大意多次询问，每次给你一个n，问你有多少个a,b=2使得任意正整数x都有ax+b的k次开根不是最简根式。思路考虑对应a,ba,ba,b会有的性质。那注意到要任意整数都有不是最简根式，而不是最简根式代表有一个因子是xkx^kxk（x⩾2,k⩾2x\geqslant2,k\geqslant2x⩾2,k⩾2）那注意到有x3x^3x3一定有x2x^2x2（其他也类似），

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上一篇：莫比乌斯反演（前置知识）文章目录莫比乌斯反演关于反演莫比乌斯函数定义性质莫比乌斯反演公式公式1公式2整除分块引入关于整除分块基础推导简单扩展莫比乌斯反演的应用例1：证明下式成立例2：YY的GCD

最近学了莫比乌斯反演和一点狄利克雷卷积，感觉很难，也是看了很多博客才有点明，写一篇博客帮助自己理解。由于数论大多基于正整数讨论，故除特殊说明外，本文所有变量都为

链接：P2257YY的GCD-洛谷|计算机科学教育新生态(luogu.com.cn)题意：给定n,m，求∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==prime]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==prime]∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)==prime]。题解：首先枚举质数可化为∑d∈primemin(n,m)∑i=1n/d∑j=1m/d[gcd(i

目录前言常见符号及其意义数论函数积性函数1.定义2.常见的积性函数3.利用线性筛预处理普通的积性函数欧拉函数莫比乌斯函数1.定义2.性质3.莫比乌斯函数的代码实现4.莫比乌斯函数与欧拉函数莫比乌斯反演1

1nijgcd⁡(i,j)) mod p\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\right)\bmodp(i=1∑nj=1∑nijgcd(i,j))modp题解前置知识：杜教筛原式为

题意求∑i=1n∑j=1n∑p=1⌊nj⌋∑q=1⌊nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}\sum_{q=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[\gcd(i,j)=1][\gcd(p,q)=1]i=1∑nj=1∑np=1∑⌊

洛谷P6055[RC-02]GCD题解前置知识：杜教筛题意即求∑i=1N∑j=1N∑p=1⌊Nj⌋∑q=1⌊Nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^N\sum_{

传送门式子好麻烦orz……大佬好腻害orz->这里1//minamoto2#include3#include4#definelllonglong5usingnamespacestd;6constintN=1e7+5,mod=20101009;7intn,m,vis[N],p[N],cnt,mu[N];llsum[N];8llans,inv2,summ;9voidinit(intlim){10mu[

题目背景提示：原P1829半数集问题已经迁移至P1028数的计算题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(LeastCommonMultiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a,b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格

传送门：洛谷，bzoj题目描述今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(LeastCommonMultiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a,b)表示能同时整除a和b的最小正整数。例如，LCM(6,8)=24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张NM的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i,j)。一个45的表格

题意：求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$。开始开心（自闭）化简：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)$=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$=$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\fr

前置知识：狄利克雷卷积杜教筛杜教筛是快速求某些积性函数的前缀和的一种方法，时间复杂度一般能达到O(n23)O(n^{\frac23})O(n32)。

前置知识：杜教筛洛谷P4213【模板】杜教筛求∑i=1nϕ(i)\sum\limits_{i=1}^n\phi(i)i=1∑nϕ(i)和∑i=1nμ(i)\sum\limits_{i=1}^n\mu(i

莫比乌斯函数莫比乌斯函数，定义如下：若d=1d=1d=1则μ(d)=1μ(d)=1μ(d)=1若d=p1p2…pkd=p_1p_2\dotsp_kd=p1p2…pk为互异素数，那么μ(d)=(−1)kμ(d)=(-1)^kμ(d)=(−1)k其它情况下μ(d)=0μ(d)=0μ(d)=0莫比乌斯函数的性质对于任意正整数nnn有：若n=1,∑d∣nμ(d)=1n=1,\sum\limits_{d|n

题解：假设n<mn<mnusingnamespacestd;constintmod=20101009;constintmaxn=1e7+10;boolispri[maxn];intpri[maxn],mu[maxn];typedeflonglongll;llsum[maxn];intn,m;voidsieve(intn){ispri[0]=ispri[1]=true;pri[0]=0;