C/C++数论/数学算法总结(关于数学知识以及一些比较重要的算法)

总结C/C++关于数学知识以及一些比较重要的算法

1.数论
整数型问题:整除、最大公约数、最小公倍数、欧几里得算法、扩展欧几里得算法.
素数问题:素数判断、区间素数统计.
同余问题:模运算、同于方程、快速幂、中国剩余定理、逆元、整数分解、同余定理.
不定方程.
乘性函数:欧拉函数、伪随机数、莫比乌斯反演.

2.组合数学
排列组合:技术原理、特殊排列、排列生成、组合生成.
母函数:普通型、指数型.
递推关系:斐波那契数列、Stirling数、Catalan数.
容斥原理、鸽巢原理
群:Polya定理
线性规划:单纯行法.

3.矩阵、线性代数、高精度计算、概率、数学期望、组合游戏、傅里叶变换、费马小定理、费马大定理.

大数加法

大数a+b也就是用字符串输入一串数字代表这个数字的大小,然后模拟一下加法的过程就可以了,为了方便计算把最低位个位放到第一个逆序计算比较方便

		int a[1010],b[1010],c[1010],l1,l2,i,j,n,t,x,y=1;
		char s1[1010],s2[1010];
        scanf("%s %s",s1,s2);
		l1=strlen(s1),l2=strlen(s2);//计算长度
		//初始化数组abc全为0
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		memset(c,0,sizeof(c));
		//把字符串s1 s2逆置存入数组a,b,逆序存方便计算
		//就是把个位放到第一位依次往后递推
		for(i=l1-1,j=0;i>=0;i--){
			a[j++]=s1[i]-'0';
		}
		for(i=l2-1,j=0;i>=0;i--){
			b[j++]=s2[i]-'0';
		}
		//这里计算a,b的每一位存入c
		//这里应该就明白为什么把数组abc都初始化为0了把
		//方便计算a+b就算长度不相等也可以利用0弥补,可以模拟一下加法过程。
		//这也就是逆序存储的方便计算,后面加0不影响大小
		for(i=0;i<1005;i++){
			x=a[i]+b[i]+c[i];//如果进位了这里c[i]=1不进位就是0.
			c[i]=x%10;//取余
			c[i+1]=x/10;//进位
		}
		//找到第一个非0数就是最高位数,可以自己思考一下为什么
		for(i=1005;i>=0;i--)
		if(c[i]!=0)
		break;
		if(i==-1)
	    printf("0");
	    //输出计算结果
	    for(;i>=0;i--)
	    printf("%d",c[i]);
	    printf("\n");

大数减法

同大数加法模拟减法过程即可.
这个代码参考大数加法可以写一下.

大数乘法

N的阶乘问题代码:

int i,j,k,s,l=0,n;
    scanf("%d",&n);
    a[0]=1;
    //计算出前n个数的乘积,简单暴力。
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=0,y=0;
        for(j=0;j<10000;j++)
        {
            x=a[j]*i+y;
            y=x/10;
            a[j]=x%10;
        }
    }
    for(i=0;;i++)//循环遍历第一个不为0的数就是计算出来的末尾不为0的第一个数!
    {
        if(a[i]!=0)
        {
            printf("%d\n",a[i]);
            break;
        }
    }

参考链接:质数乘积(大数乘法+埃氏筛法)

模拟乘法过程注意进位

    char aa[50],bb[50];
	int s[100]={0},i,j,f=0,k,l1,l2,x,y,z,a[50],b[50];
	scanf("%s%s",aa,bb);
	l1=strlen(aa),l2=strlen(bb);
	for(i=l1-1,j=0;i>=0;i--)
	a[j++]=aa[i]-'0';
	for(i=l2-1,j=0;i>=0;i--)
	b[j++]=bb[i]-'0';
	for(i=0;i<l2;i++)
	{
		f=0;
		k=i;x=0,y=0;
		for(j=0;j<l1;j++)
	   {
		x=y+a[j]*b[i]+s[k];
		y=x/10;
		s[k]=x%10;
		k++;
	   }
	   if(y!=0)
	   f=1,s[k]=y;
   }
	for(i=k+f-1;i>=0;i--)
	printf("%d",s[i]);
	printf("\n");

大数除法

这个太难,一般都是直接打模板.

大数取模

== 会大数除法自然会取模了==

最大公约数

记住这个函数即可__gcd(x,y)

    x=1000,y=88888;
	cout<<__gcd(x,y)<<endl;//结果是8 

最小公倍数

两个数相乘除以最大公约数即可

	x=1000,y=88888;
	cout<<x*y/__gcd(x,y)<<endl;//结果是11111000

欧几里得算法

gcd( m , n ) = gcd( n = m % n)
直到最后gcd(m , 0)=m,m最后的取值也就是m和n的最大公约数。
用于计算欧几里得算法gcd(m,n)
第一步:如果n=0,返回值m则作为结果。通过计算过程结束,否则进入第二步。
第二步:m除以n,将余数赋值给R;
第三步:将n的值赋给m,将r的值赋值给n。返回第一步

自己敲一下代码吧.

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x和y,使它们满足等式: ax+by =?gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。即对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然存在整数对 x和y,使得 gcd(a,b)=ax+by。
扩展欧几里得算法,精髓在于对x和y的赋值。对于a’ = b,b’ = a % b 而言,我们求得 x,y使得 a’x + b’y = Gcd(a’,b’)由于b’ = a% b = a - a / b * b 那么可以得到:a’x + b’y= Gcd(a’,b’) ,因而bx + (a - a / b * b),y = Gcd(a’,b’) = Gcd(a,b)进而可得ay +b(x - a / by) = Gcd(a,b)因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是y和(x-a/by).

素数判定和区间素数统计

埃氏筛法:

//标记10000以内的素数
    for(i=0;i<=10000;i++)
        b[i]=1;//先把所有数标位1
    for(i=2;i<=100;i++)//前100的质数就能筛出来所有质数了
        {
            if(b[i])//如果b[i]==1则就是素数
            {
               for(j=i+i;j<=10000;j=j+i)//埃氏筛法,所有是i的倍数全部不是素数,标记为0
                b[j]=0;//标记所有不是质数的数
            }
        }

模运算

模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a – b) % p = (a % p – b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
结合律:
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p
交换律:
(a + b) % p = (b+a) % p
(a * b) % p = (b * a) % p
分配律:
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
重要定理:
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a + c) ≡ (b + c) (%p);
若a≡b (% p),则对于任意的c,都有(a * c) ≡ (b * c) (%p);
若a≡b (% p),c≡d (% p),则 (a + c) ≡ (b + d) (%p),(a – c) ≡ (b – d) (%p),
(a * c) ≡ (b * d) (%p),(a / c) ≡ (b / d) (%p);

除法取模

设k为b的逆元

(a/b)%m=(ak)%m (自证)

快速幂

假设求a^b%m
首先我们可以参考上面的取模运算
a^b%m = (a%m)^b%m
所以我们运算的时候一直对底数a取余即可
快速幂过程:
即当b为偶数: a^( (b/2)*2 ) 即(a2)b/2
这个时候幂数就会除以2了,达到了我们想要的快速效果.
当b不为偶数:可化为:a×a^b-1这个时候b-1一定是偶数哦!!!
上代码!!!

int f(long long a,long long b)
{
    a=a%m;
    long long s=1;
    while(b>0)
    {
        if(b%2==1)//指数为奇数时 
        s=(s*a)%c;//单独×一个底数 
        //这个地方当b为奇数时  b/2和(b-1)/2结果一样
        b=b/2;//指数变为原来的1/2 
        b=(b*b)%h;//底数扩大原来的平方 
    }
    return s;
}

参考题目链接:越狱(快速幂)

容斥原理

容斥原理是一种重要的组合数学方法,可以让你求解任意大小的集合,或者计算复合事件的概率。

举个例子:比如 100以内能被2,3,5整除的数有多少
能被2整除 100/2=50
能被3整除 100/3=33
能被5整除 100/5=20
这里一共用50+33+20=103个 你会发现他有重复计算的 比如 10既能整除2又能整除5所以计算了两次 而30能整除他们三个
能被2,3整除 100/(23)=16
能被2,5整除(100)/(2
5)=10
能被3,5整除100/(35)=6
能被2,3,5整除的100/(2
3*5)=3
根据容斥原理 最后就得:103-(16+10+6-3)=74

Catalan数(卡特兰数)

C/C++数论/数学算法总结(关于数学知识以及一些比较重要的算法)_第1张图片

前20项为:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

费马小定理:

内容:

若存在整数 a , p 且gcd(a,p)=1,即二者互为质数,则有a^(p-1)≡ 1(mod p)。(这里的 ≡ 指的是恒等于,a^(p-1)≡ 1(mod p)是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)(不理解的话请留言)

证明:

这里证明较为复杂需要先引出两个定理:

引理一:
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当a·c≡b·c(mod m)时,有a≡b(mod m)。
  证明:a·c≡b·c(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)·c≡0(mod m)。因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a– b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)

引理二:
设m是一个整数且m>1,b是一个整数且(m,b)=1。如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系,则b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]也构成模m的一个完全剩余系。
  证明:若存在2个整数b·a[i]和b·a[j]同余即b·a[i]≡b·a[j](mod m)…(i>=1 && j>=1),根据引理1则有a[i]≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义可知这是不可能的,因此不存在2个整数b·a[i]和b·a[j]同余。
所以b·a[1],b·a[2],b·a[3],b·a[4],…b·a[m]构成模m的一个完全剩余系。
构造素数 的完全剩余系
p={1,2,3,…,p-1}.
因为 ,由引理2可得
A={a,2a,3a,…,(p-1)a}.
也是p的一个完全剩余系。由完全剩余系的性质,
123*…(p-1)≡a2a3a…*(p-1)a(modp).

(p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1)(modp)
易知 ((p-1)!,p)=1,同余式两边可约去(p-1)!,得到
a^(p-1)≡1(modp)
这样就证明了费马小定理。
上述证明摘自百度百科

最后总结JAVA大数加减乘除超级简单五个运算五行代码即可

参考链接:JAVA大数运算–加减乘除取余

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