一、问题引入二次剩余是数论基本概念之一。它是初等数论中非常重要的结果，不仅可用来判断二次同余式是否有解，还有很多用途。C.F.高斯称它为算术中的宝石，他一人先后给出多个证明。

二次剩余是数论基本概念之一。它是初等数论中非常重要的结果。俗称模意义开根。

这周详细看了同余方程，理解了同余方程的解法，孙子定理，二次剩余、Legendre与Jacobi符号。结合了RSA算法，这才知道我前面学的理论部分有多么重要，例如计算

目录一、Glodwasser-Micali公钥加密算法二、一些笔记写在前面：Glodwasser-Micali公钥加密算法的原理、涉及一些数学基础（同余式、二次剩余、雅可比符号等）一、Glodwasser-Micali

数学学得太差了补补知识点or复习Miller-Rabin和PollardRhoMiller-Rabin前置知识：费马小定理\[a^{p-1}\equiv1\pmodp,p\is\prime\]二次探测（mod奇素数下1的二次剩余

文章目录前言CryptoNormal_rsaNormal_rsa(Revenge)(低指数e攻击)Math_RSA(二次剩余)爬过小山的看云(hill,云影)MischardMisc(base64)MasterMisc

文章目录一、导言二、完全剩余系三、既约剩余系四、费马小定理五、威尔逊定理六、二次剩余七、正式论证一、导言本文主要论证：任意素数p≡1(mod4)p\equiv1\space({\rmmod}\space4

文章目录第一部分题目描述：分析：二次剩余知识导入：第二部分题目描述：分析：浅记一下第一部分题目描述：fromsecretsimport*a=3154360777410506828246987116345256890184577383710274549100253493102602370771512079662661389298064379349297671822832361451806819324

1.什么是二次剩余2.二次剩余有什么用说白了就是如果存在有解的话，那么n可以在modp的前提下开根号3.如何求解呢以下的方法使用的话需要有一个前提，就是mod的数p必须是奇素数先引入一个定理：接下来我们引入一个新概念

数论1.整除2.最大公约数3.模运算4.逆元5.欧拉函数6.欧拉定理7.费马小定理8.一次同余方程9.中国剩余定理10.二次剩余和Blum整数1.整除设a,b∈Za,b\in\rmZa,b∈Z，其中ZZZ

文章目录一、介绍1.定义2.定理二、判别1.勒让德符号（LegendreSymbol）2.欧拉判别准则（Euler'scriterion）(1)内容(2)证明(3)注意三、x2≡n(modx^2≡n(modx2≡n(modp)p)p)——奇波拉算法（Cipolla'salgorithm）1.操作2.证明x=(a+a2−n)p+12x=(a+\sqrt{a^2-n})^{\frac{p+1}{2}}

、令z=y2=x3+2x+1mod7z=y^2=x^3+2x+1\mod\7z=y2=x3+2x+1mod7要计算椭圆曲线上的点，即计算GF(7)中每个元素作为x代入后得到的z值，再判定z是否是模7的二次剩余

二次剩余文章目录二次剩余一、习题11.1二、习题11.2三、习题11.3四、习题11.4五、习题11.5六、习题11.6 一、习题11.1解：（1）封闭性：    ∀\forall∀m1,m2∈m_1,

非素数模下的二次剩余InstructionInstructionInstruction二次剩余定义为，一个数aaa，如果不是ppp的倍数且模ppp同余于某个数的平方，则称aaa为模ppp的二次剩余x2≡

与Paillier加密相关数学基础，例如gcd，lcm，二次剩余等理论可以查看我之前写的几篇博客https://bl

目录习题习题一习题二习题三习题四习题五习题六习题七习题八习题九习题十习题十一知识点这边的东西都是抄书的，可以不用看orz同余式与同余类同余类的运算同余方程(组)原根指数二次剩余二次互反律以上如果有什么问题

习题十1设是奇素数，为整数且.证明：证明:为奇素数.为的一个完系.又为的一个完系.必有满足，且有个二次剩余，个二次非剩余得证.2设是奇素数，是中最小的模二次非剩余.证明是素数.证明:利用反证法.若不为素数

很早就听说过二次剩余的概念了，但由于没有一直碰到过相关的题目加上学不太明白，所以一直拖啊拖没去认真学，最近终于碰到了要用到二次剩余相关知识的题，然后滚去认真学习了一波，现写篇博客记录下所学所想。

同余方程、二次剩余、二次互反律1、同余方程剩余类可以看做是一个新的数系，它对加减乘运算是封闭的，所以同余方程对多项式是有意义的。

数学归纳法原理2.等差级数3.等比级数4.前n项平方和*5.一个重要的不等式*6.二项式定理*7.再谈数学归纳法第1章补充数论引言$1素数1.基本事实2.素数的分布$2同余1.一般概念2.费马定理3.二次剩余

Legendre符号的用途一、二次剩余勒让德符号的提出的意义是判断一个数是否是模n的二次剩余，所以研究勒让德符号之前应该了解一下二次剩余。

目录素数素数筛求1e18以内数因子分解的最小幂次数论中国剩余定理二次剩余定理图论tarjan缩点求割点dp区间dp单次合并多堆数据结构线段树单点修改区间修改动态开点线段树主席树求区间第k大奇怪的定理n数码其他逆元快读离散化随机数求数字

既然知道了高次同余方程的解法，就可以直接用解高次同余的方法解二次剩余方程。为什么要单独学二次同余方程呢。因为我区间加区间修改用的是线段树不是树套树。即问题特殊化之后可

Quadraticequation牛客多校九B给定$(x+y)\%mod=b$$(x*y)\%mod=c$求$x,y$二次剩余求$((x-y)^{2})\%mod=(b\timesb-4\timesc)

目录A、ThepowerofFibonacci（循环节+中国剩余定理）B、Quadraticequation（二次剩余）D、KnapsackCryptosystem（折半搜索）E、Allmenarebrothers

同余方程、二次剩余、二次互反律1、同余方程剩余类可以看做是一个新的数系，它对加减乘运算是封闭的，所以同余方程对多项式是有意义的。

为奇质数的情况下面大量内容借用神仙yyc大佬的blogs才不是因为我懒概(che)论(dan)给c,pc,pc,p求解x2≡c(modp)x^2\equivc\pmodpx2≡c(modp)前置芝士欧拉判别法首先要知道这个数有没有二次剩余

传送门题意：求Fib数列在modn意义下的循环节。题解：首先，将n分解质因数，得n=pk11pk22..pkcc。设G(x)为modx下的循环节。显然有:G(n)=lcmi=1c(G(pkii))至于求pkii的循环节具体请看论文：https://wenku.baidu.com/view/7fc328eb4693daef5ef73d87.html步骤为：若p≤5，则直接返回值（小于5不满足以下性质

注意：1.本文讨论的是模奇素数的二次剩余目前不打算写二次互反律，不易写明白什么是二次剩余求解模小素数的二次同余方程求解模小素数的二次方程，只需要遍历Zp∗Zp*Zp∗中的数，验证每个数的平方模p结果是否为

二次剩余：对于整数q,nq,nq,n，若存在xxx使得x2≡qmod  nx^2\equivq\modnx2≡qmodn则称qqq是nnn的二次剩余，否则qqq是nnn的非二次剩余对于奇质数ppp，引入

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群)因为不会做目录所以请善用ctrl+F本来想的是笔记之类的，写着写着就变成了资源整理一些有的没的的前置导数

Fibonacci-Sum1009.Leading-Robots1006.Finding-a-MEX第二场1012.String-Distance1005.New-Equipments第一场1005.Fibonacci-Sum标签：二次剩余

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/889/B来源：牛客网时间限制：C/C++2秒，其他语言4秒空间限制：C/C++262144K，其他语言524288K64bitIOFormat:%lld题目描述AmyasksMr.BproblemB.PleasehelpMr.Btosolvethefollowingproblem.Letp=1000000007.Giv

FibonacciSumTimeLimit:4000/2000MS(Java/Others)MemoryLimit:524288/524288K(Java/Others)TotalSubmission(s):2930AcceptedSubmission(s):643ProblemDescriptionTheFibonaccinumbersaredefinedasbelow:Giventhreein

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/41355题目大意：f[0]=0,f[1]=1,f[n]=3*f[n-1]+2*f[n-2](n≥2)，mod998244353，一共有q轮，第一轮查的是f[n]，接下来每一轮都用前一轮的答案的平方和前一轮查询的数异或作为这一轮的n进行查询，最后求所有答案的异或题目思路：法一：法一使用分块打表，网上基本要么是法二的错误方法，要么对

思路根据广义斐波那契数列，我们可以得到此递归式的通项公式：sqrt(17)我们可以用二次剩余求出它的值

题意:给定两个数字在模1e9+7意义下x+y的和以及x和y的乘积,求x和y题目分析由于x和y的取值范围,我们可以得到x+y的范围为0#include#include#include#include#includeusingnamespacestd;typedeflonglongLL;LLquick_mod(LLa,LLb,LLm){LLans=1;a%=m;while(b){if(b&1){ans

同余：（这里只讲整数的同余）101010除以777余数是333，171717除以777余数也是333，那么就称101010与171717在模777意义下同余，符号表示为  10≡17  (mod  7)\;10\equiv17\;(mod\;7)10≡17(mod7)。然后，很容易得到一些性质：自反性：a≡a  (mod  m)a\equiva\;(mod\;m)a≡a(modm)对称性：若  a

/**toj2991.c**Createdon:2011-10-13*Author:bjfuwangzhu*//*给出整数n，统计二次同余方程x^2=1(modn)在[0,n)闭区间上的解的个数。分析：根据《简明数论》上的说明：若p是素数，x^2=1(modp^k)的解数有如下结论。当p==2时，k==1则解数是1，k==2时解数是2，k>=3时，解数是4。当p>2时，k>0时解数是2。然后分解因

即，对于奇素数p，和p的一个二次剩余n，求解x^2≡n(modp)这样的方程。“n是二次剩余”是什么意思呢？

对于同余式\[x^2\equivn\pmodp\]若对于给定的\(n,P\)，存在\(x\)满足上面的式子，则乘\(n\)在模\(p\)意义下是二次剩余，否则为非二次剩余我们需要计算的是在给定范围内所有满足条件的

根据勒让德记号，我们有nP−12=±1，并且上述问题有解当且仅当nP−12=1设a，满足w=a2−n，w对于P不是二次剩余。这个a直接随机就好了。

前言之前遇到过一些关于二次剩余的题目，因为姿势不够都跳了。由于最近觉得自己的数论姿势严重不足，便觉得有必要来学习一下二次剩余相关的算法。

还学习了两个比较有用的算法，就是线性代数和原根相关与二次剩余，在我的blog找学习笔记就可以学习相关内容。

部分引用自：http://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/77255048所以假设方程x^2+x+1=0在模p意义下的解为d，则答案就是满足(ai/aj)modp=d的数对(i,j)的数量(i#include#include#includeusingnamespacestd;typedeflonglongll;llp,a[200005];structComp

大佬博客传送门首先我们要弄清楚什么叫二次剩余，其实就是对于给定的p(p∈P)和n，如果有x满足x2≡n(modp)，那么n在模p意义下就是二次剩余。说白了就是模意义下能否开根号。

constintN=45000;constLLp=998244353;constLLphi=998244352;constLLinv2=499122177;constLLv17=524399943;//17模P的二次剩余

链接：https://nanti.jisuanke.com/t/41355题意：Q个询问，每次求F(N)，但是N要用上一次询问的结果得到。思路：1、直接矩阵快速幂求，再用map记一下答案，求过就不求了。数据正常的话肯定就会T，但这题数据太水。（也可能是询问加密的问题，反正理论上铁定T。）#include#include#include#include#include#include#include

一.逆元概念和作用逆元其实跟倒数很相似。逆元概念：方程ax≡1(mod  p)ax\equiv1(mod\,\:p)ax≡1(modp)的解称为a关于模p的逆，当gcd(a,p)=1（即a，p互质）时，方程有唯一解，否则无解。逆元的作用：对于求(a/b)modp，直接除会爆精度，此时就可以采用逆元(a∗inv(b))mod  p(a*inv(b))mod\,\:p(a∗inv(b))modp。求法

FibonacciSum题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6755思路首先关于题目需要的知识点单独记录在了下面的博客https://blog.csdn.net/xmyrzb/article/details/107526823求出斐波那契数列的通项公式为Fn=d(an−bn)F_n=d(a^n-b^n)Fn=d(an−bn)，其中d=15\q