假设检验：统计推断的决策艺术

引言

假设检验是统计学的’审判法庭’——通过严格的证据标准（数据），我们对总体参数的’主张’（假设）进行科学裁决。本章将建立原假设与备择假设的对抗框架，揭示显著性水平的哲学内涵，并系统学习从正态总体到非参数的各种检验方法。

8 假设检验

8.1 假设检验的基本原理

8.1.1 核心概念框架

是

否

提出假设

设计实验

收集数据

计算检验统计量

决策规则

拒绝H0?

支持H1

不拒绝H0

8.1.2 假设形式

检验类型	原假设 $H_0$	备择假设 $H_1$	应用场景
双侧检验	$\theta ={\theta }_0$	$\theta \ne {\theta }_0$	检测参数变化
左侧检验	$\theta \ge {\theta }_0$	$\theta <{\theta }_0$	检测参数减小
右侧检验	$\theta \le {\theta }_0$	$\theta >{\theta }_0$	检测参数增大

原则：$H_0$ 应包含等号，且通常是研究者希望推翻的假设

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8.2 检验的两类错误

8.2.1 错误类型矩阵

决策\真实情况	$H_0$ 为真	$H_1$ 为真
拒绝 $H_0$	第Ⅰ类错误 (α)	正确决策 (1-β)
不拒绝 $H_0$	正确决策 (1-α)	第Ⅱ类错误 (β)

8.2.2 错误概率关系

控制

最大化

增加

增大

显著性水平 α

第Ⅰ类错误

功效 1-β

第Ⅱ类错误 β

样本量 n

效应量

• α (显著性水平)：通常设为0.05或0.01
• β 影响因素：α减小、样本量小、效应量小时β增大

平衡艺术：在固定样本量下，α与β此消彼长（如图示）

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8.3 单正态总体参数检验

8.3.1 均值μ的检验

条件	检验统计量	拒绝域
$\sigma$已知	$z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$	$\mid z\mid \ge z_{\alpha /2}$ (双侧)
$\sigma$未知	$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$	$\mid t\mid \ge t_{\alpha /2}(n-1)$

8.3.2 方差σ²的检验

条件	检验统计量	拒绝域
$\mu$已知	${\chi }^2=\sum \frac{(x_i-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }_0^2}$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)$ 或 ${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n)$
$\mu$未知	${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}$	${\chi }^2\le {\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$ 或 ${\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$

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8.4 双正态总体参数检验

8.4.1 均值差检验

条件	检验统计量	拒绝域
${\sigma }_1,{\sigma }_2$已知	$z=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-d_0}{\sqrt{{\sigma }_1^2/m+{\sigma }_2^2/n}}$	$\mid z\mid \ge z_{\alpha /2}$
${\sigma }_1={\sigma }_2$未知	$t=\frac{(\bar{x}-\bar{y})-d_0}{s_p\sqrt{1/m+1/n}}$	$\mid t\mid \ge t_{\alpha /2}(m+n-2)$

8.4.2 方差比检验

条件	检验统计量	拒绝域
${\mu }_1,{\mu }_2$未知	$f=\frac{s_1^2}{s_2^2}$	$f\le F_{1-\alpha /2}(m-1,n-1)$ 或 $f\ge F_{\alpha /2}(m-1,n-1)$

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8.5 P值：检验的客观度量

8.5.1 P值定义

在$H_0$成立的条件下，观测到当前样本或更极端样本的概率

8.5.2 决策规则

• P值 ≤ α → 拒绝$H_0$（结果统计显著）
• P值 > α → 不拒绝$H_0$

8.5.3 P值解读

接近0

接近1

独立于

影响

P值

强证据反对H0

弱证据反对H0

效应大小

样本量

重要提示：P值不是$H_0$为真的概率！常见误解：

• P=0.05 ≠ “H0有5%概率为真”
• 而是"如果H0为真，有5%概率观察到当前或更极端数据"