机器人控制仿真软件：MATLAB Simulink Control System Toolbox_（10）.滑模控制设计

滑模控制设计

引言

滑模控制（Sliding Mode Control, SMC）是一种非线性控制方法，具有鲁棒性强、对系统参数变化和外部扰动不敏感等优点。在机器人控制领域，滑模控制被广泛应用于轨迹跟踪、姿态控制和力控制等任务中。本节将详细介绍滑模控制的设计原理和在MATLAB Simulink Control System Toolbox中的实现方法，并通过具体例子进行说明。

滑模控制的基本原理

滑模控制的核心思想是通过设计一个合适的滑动面，使得系统的状态能够在有限时间内到达并保持在滑动面上，从而实现系统的期望性能。滑动面通常是一个超平面，系统在滑动面上的行为称为滑动模态，这种模态具有线性系统的良好特性，即使在存在不确定性和扰动的情况下也能保持系统的稳定性和鲁棒性。

滑动面的设计

滑动面的设计是滑模控制的关键步骤。假设系统的状态空间模型为：

$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x},t)+\mathbf{g}(\mathbf{x},t)\mathbf{u}$$

其中，$\mathbf{x}$是状态向量，$\mathbf{u}$是控制输入，$\mathbf{f}(\mathbf{x},t)$和 $\mathbf{g}(\mathbf{x},t)$是系统非线性函数。

滑动面 $s(\mathbf{x},t)$通常设计为：

$$s(\mathbf{x},t)=\mathbf{Cx}+d(t)$$

其中，$\mathbf{C}$是滑动面矩阵，$d(t)$是滑动面偏置。

控制律的设计

为了使系统状态到达并保持在滑动面上，需要设计一个控制律 $\mathbf{u}$。控制律通常分为两部分：等效控制 $u_{\text{eq}}$和切换控制 $u_{\text{sw}}$。

等效控制 $u_{\text{eq}}$使得系统在滑动面上的行为满足期望的动态特性：

$${\mathbf{u}}_{\text{eq}}=\mathbf{g}(\mathbf{x},t{)}^{-1}\left(-\mathbf{f}(\mathbf{x},t)+{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{Ax}+{\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{Br}(t)\right)$$

其中，$\mathbf{A}$和 $\mathbf{B}$是期望的线性系统矩阵，$\mathbf{r}(t)$是参考输入。

切换控制 $u_{\text{sw}}$用于克服系统的不确定性和扰动，使得系统状态能够到达滑动面：

$${\mathbf{u}}_{\text{sw}}=-k\text{sign}(s(\mathbf{x},t))$$

其中，$k$是切换增益，$\text{sign}(\cdot )$是符号函数。

总的控制律为：

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\text{eq}}+{\mathbf{u}}_{\text{sw}}$$

滑模控制的设计步骤

1. 系统建模：建立系统的数学模型，包括状态方程和输出方程。

2. 滑动面设计：设计滑动面 $s(\mathbf{x},t)$，选择合适的滑动面矩阵 $\mathbf{C}$和偏置 $d(t)$。

3. 等效控制设计：计算等效控制律 $u_{\text{eq}}$。

4. 切换控制设计：选择合适的切换增益 $k$，设计切换控制律 $u_{\text{sw}}$。

5. 仿真验证：在MATLAB Simulink中进行仿真，验证控制律的有效性。

示例：机器臂的滑模控制

系统建模

假设我们有一个两关节机器臂，其动力学方程为：

$$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})=\mathbf{u}$$

其中，$\mathbf{q}$是关节角度，$\mathbf{u}$是关节力矩，$\mathbf{M}(\mathbf{q})$是惯性矩阵，$\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$是科里奥利和离心力矩阵，$\mathbf{g}(\mathbf{q})$是重力向量。

滑动面设计

选择滑动面为：

$$s=\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}(\mathbf{q}-{\mathbf{q}}_d)$$

其中，${\mathbf{q}}_d$是期望的关节角度，$\mathbf{K}$是滑动面增益矩阵。

等效控制设计

计算等效控制律：

$${\mathbf{u}}_{\text{eq}}=\mathbf{M}(\mathbf{q})\left(-\mathbf{K}(\mathbf{q}-{\mathbf{q}}_d)-\mathbf{K}(\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{K}(\mathbf{q}-{\mathbf{q}}_d))\right)+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})$$

切换控制设计

选择切换增益 $k$，设计切换控制律：

$${\mathbf{u}}_{\text{sw}}=-k\text{sign}(s)$$

仿真验证

在MATLAB Simulink中进行仿真，验证滑模控制的有效性。

MATLAB代码示例

首先，定义机器臂的动力学参数和滑模控制参数：

% 定义机器臂的动力学参数

m1 = 1; % 第一关节的质量

m2 = 1; % 第二关节的质量

l1 = 1; % 第一关节的长度

l2 = 1; % 第二关节的长度

g = 9.81; % 重力加速度



% 定义滑模控制参数

K = [10, 5; 5, 10]; % 滑动面增益矩阵

k = 10; % 切换增益



% 定义期望的关节角度

qd = [0.5; 0.3]; % 期望的关节角度



% 定义时间向量

t = 0:0.01:10; % 0到10秒，步长为0.01秒



% 定义初始状态

q0 = [0; 0]; % 初始关节角度

dq0 = [0; 0]; % 初始关节角速度



% 定义系统状态向量

x0 = [q0; dq0]; % [关节角度; 关节角速度]

接下来，定义机器臂的动力学方程和滑模控制律：

function dxdt = robot_dynamics(t, x, u)

    q = x(1:2); % 关节角度

    dq = x(3:4); % 关节角速度

    ddq = [0; 0]; % 关节角加速度



    % 计算惯性矩阵

    M = [m1*l1^2 + m2*(l1^2 + 2*l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2);

          m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*l2^2];



    % 计算科里奥利和离心力矩阵

    C = [0, -m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(2);

          m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(1), 0];



    % 计算重力向量

    g = [m1*l1 + m2*l2*cos(q(2)); m2*l2*sin(q(2))] * g;



    % 计算关节角加速度

    ddq = inv(M) * (u - C * dq - g);



    % 返回系统的状态导数

    dxdt = [dq; ddq];

end



function u = sliding_mode_control(q, dq, qd, K, k)

    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw;

end

在Simulink中构建仿真模型：

1. 创建一个新的Simulink模型。

2. 添加一个 MATLAB Function 模块，用于实现动力学方程和滑模控制律。

3. 添加一个 State-Space 模块，用于模拟机器臂的动力学行为。

4. 添加一个 Scope 模块，用于观察系统的响应。

Simulink模型构建

1. MATLAB Function 模块的代码：

function u = fcn(q, dq, qd, K, k)

    % 定义惯性矩阵

    function M = M(q)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        M = [m1*l1^2 + m2*(l1^2 + 2*l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2);

              m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*l2^2];

    end



    % 定义科里奥利和离心力矩阵

    function C = C(q, dq)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        C = [0, -m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(2);

              m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(1), 0];

    end



    % 定义重力向量

    function g = g(q)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        g = 9.81;

        g = [m1*l1 + m2*l2*cos(q(2)); m2*l2*sin(q(2))] * g;

    end



    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw;

end

2. State-Space 模块的参数设置：

• A 矩阵：$[0,0,1,0;0,0,0,1;0,0,0,0;0,0,0,0]$

• B 矩阵：$[0,0;0,0;1,0;0,1]$

• C 矩阵：$[1,0,0,0;0,1,0,0]$

• D 矩阵：$[0,0;0,0]$

• 初始状态：$$x_0=[0;0;0;0]$$

3. Scope 模块用于观察关节角度和角速度的响应。

仿真结果分析

运行Simulink模型，观察关节角度和角速度的响应。滑模控制应能使系统的状态迅速到达并保持在滑动面上，从而实现期望的轨迹跟踪性能。

代码示例的解释

• 动力学方程：robot_dynamics 函数定义了机器臂的动力学方程，包括惯性矩阵、科里奥利和离心力矩阵、重力向量。

• 滑模控制律：sliding_mode_control 函数计算了滑动面和等效控制律，以及切换控制律。

• Simulink模型：通过 MATLAB Function 模块实现动力学方程和控制律，State-Space 模块模拟系统的动力学行为，Scope 模块用于观察仿真结果。

滑模控制的高级应用

自适应滑模控制

自适应滑模控制（Adaptive Sliding Mode Control, ASMC）通过在线估计系统参数和扰动，动态调整滑模控制律，提高系统的鲁棒性和性能。

例子：自适应滑模控制

假设我们有一个带有不确定参数的两关节机器臂，其动力学方程为：

$$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})+\mathbf{\Delta }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})=\mathbf{u}$$

其中，$\mathbf{\Delta }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$是不确定参数。

自适应滑模控制律为：

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\text{eq}}+{\mathbf{u}}_{\text{sw}}+{\mathbf{u}}_{\text{ad}}$$

其中，${\mathbf{u}}_{\text{ad}}$是自适应控制律，用于估计和补偿不确定参数。

MATLAB代码示例

% 定义自适应控制参数

gamma = 1; % 自适应增益



% 定义自适应滑模控制律

function u = adaptive_sliding_mode_control(q, dq, qd, K, k, gamma)

    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 计算自适应控制律

    u_ad = -gamma * s * norm(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw + u_ad;

end

模糊滑模控制

模糊滑模控制（Fuzzy Sliding Mode Control, FSMC）结合了模糊逻辑和滑模控制，通过模糊逻辑对切换增益进行在线调整，减少控制输入的抖振现象。

例子：模糊滑模控制

假设我们有一个带有扰动的两关节机器臂，其动力学方程为：

$$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})+\mathbf{d}(t)=\mathbf{u}$$

其中，$\mathbf{d}(t)$是外部扰动。

模糊滑模控制律为：

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\text{eq}}+{\mathbf{u}}_{\text{sw}}$$

其中，切换增益 $k$通过模糊逻辑进行在线调整。

MATLAB代码示例

% 定义模糊逻辑规则

fuzzySystem = readfis('fuzzy sliding mode control.fis');



% 定义模糊滑模控制律

function u = fuzzy_sliding_mode_control(q, dq, qd, K, fuzzySystem)

    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换增益

    k = evalfis(fuzzySystem, [s(1), s(2)]);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw;

end

鲁棒滑模控制

鲁棒滑模控制（Robust Sliding Mode Control, RSMC）通过引入鲁棒项，提高系统在存在不确定性和扰动时的性能。鲁棒滑模控制在传统的滑模控制基础上，通过增加一个鲁棒项来补偿系统中的不确定性和扰动，从而进一步增强系统的鲁棒性和稳定性。

假设我们有一个带有不确定性和扰动的两关节机器臂，其动力学方程为：

$$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})+\mathbf{\Delta }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})+\mathbf{d}(t)=\mathbf{u}$$

其中，$\mathbf{\Delta }(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$是不确定参数，$\mathbf{d}(t)$是外部扰动。

鲁棒滑模控制律为：

$$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\text{eq}}+{\mathbf{u}}_{\text{sw}}+{\mathbf{u}}_{\text{rob}}$$

其中，${\mathbf{u}}_{\text{rob}}$是鲁棒控制律，用于补偿不确定性和扰动。

鲁棒控制律的设计

鲁棒控制律 ${\mathbf{u}}_{\text{rob}}$通常设计为：

$${\mathbf{u}}_{\text{rob}}=-\mathbf{L}|s(\mathbf{x},t)|$$

其中，$\mathbf{L}$是鲁棒增益矩阵，$|\cdot |$是绝对值函数。

MATLAB代码示例

% 定义鲁棒滑模控制参数

L = [1, 0; 0, 1]; % 鲁棒增益矩阵



% 定义鲁棒滑模控制律

function u = robust_sliding_mode_control(q, dq, qd, K, k, L)

    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 计算鲁棒控制律

    u_rob = -L * abs(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw + u_rob;

end

仿真验证

在MATLAB Simulink中进行仿真，验证鲁棒滑模控制的有效性。

Simulink模型构建

1. MATLAB Function 模块的代码：

function u = fcn(q, dq, qd, K, k, L)

    % 定义惯性矩阵

    function M = M(q)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        M = [m1*l1^2 + m2*(l1^2 + 2*l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2);

              m2*(l1*l2*cos(q(2)) + l2^2), m2*l2^2];

    end



    % 定义科里奥利和离心力矩阵

    function C = C(q, dq)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        C = [0, -m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(2);

              m2*l1*l2*sin(q(2))*dq(1), 0];

    end



    % 定义重力向量

    function g = g(q)

        m1 = 1;

        m2 = 1;

        l1 = 1;

        l2 = 1;

        g = 9.81;

        g = [m1*l1 + m2*l2*cos(q(2)); m2*l2*sin(q(2))] * g;

    end



    % 计算滑动面

    s = dq + K * (q - qd);



    % 计算等效控制律

    u_eq = M(q) * (-K * (q - qd) - K * (dq + K * (q - qd))) + C(q, dq) * dq + g(q);



    % 计算切换控制律

    u_sw = -k * sign(s);



    % 计算鲁棒控制律

    u_rob = -L * abs(s);



    % 返回总的控制律

    u = u_eq + u_sw + u_rob;

end

2. State-Space 模块的参数设置：

• A 矩阵：$[0,0,1,0;0,0,0,1;0,0,0,0;0,0,0,0]$

• B 矩阵：$[0,0;0,0;1,0;0,1]$

• C 矩阵：$[1,0,0,0;0,1,0,0]$

• D 矩阵：$[0,0;0,0]$

• 初始状态：$$x_0=[0;0;0;0]$$

3. Scope 模块用于观察关节角度和角速度的响应。

仿真结果分析

运行Simulink模型，观察关节角度和角速度的响应。鲁棒滑模控制应能使系统的状态迅速到达并保持在滑动面上，即使在存在不确定性和扰动的情况下也能实现期望的轨迹跟踪性能。

代码示例的解释

• 动力学方程：robot_dynamics 函数定义了机器臂的动力学方程，包括惯性矩阵、科里奥利和离心力矩阵、重力向量。

• 鲁棒滑模控制律：robust_sliding_mode_control 函数计算了滑动面和等效控制律，以及切换控制律和鲁棒控制律。

• Simulink模型：通过 MATLAB Function 模块实现动力学方程和控制律，State-Space 模块模拟系统的动力学行为，Scope 模块用于观察仿真结果。

结论

滑模控制是一种强大的非线性控制方法，适用于处理系统参数变化和外部扰动的问题。通过设计合适的滑动面和控制律，滑模控制能够使系统状态迅速到达并保持在滑动面上，从而实现系统的期望性能。本文介绍了滑模控制的基本原理、设计步骤，并通过机器臂的轨迹跟踪任务进行了示例说明。此外，还介绍了自适应滑模控制、模糊滑模控制和鲁棒滑模控制等高级应用，这些方法进一步提高了系统的鲁棒性和性能。通过MATLAB Simulink的仿真验证，可以直观地观察和分析滑模控制的效果，为实际应用提供参考。