3.5 统计初步

本章系统阐述统计推断理论基础，涵盖大数定律、抽样分布、参数估计与假设检验等核心内容。以下从六个核心考点系统梳理知识体系：

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考点一：大数定律与中心极限定理

1. 大数定律

• 切比雪夫不等式：
  设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)={\sigma }^2$，则对任意 $\epsilon >0$：
  $$P\{|X-\mu |\ge \epsilon \}\le \frac{{\sigma }^2}{{\epsilon }^2}$$
• 辛钦大数定律：
  设独立同分布序列 $\{X_n\}$ 满足 $E(X_i)=\mu$，则对任意 $\epsilon >0$：
  lim ⁡ n → ∞ P { ∣ 1 n ∑ k = 1 n X k − μ ∣ < ε } = 1 \lim_{n \to \infty} P\left\{ \left| \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k - \mu \right| < \varepsilon \right\} = 1 n→∞lim​P{ ​n1​k=1∑n​Xk​−μ ​<ε}=1

核心思想：大量样本的平均值具有稳定性，依概念收敛于理论均值。

2. 中心极限定理

设独立同分布序列 $\{X_n\}$ 满足 $E(X_i)=\mu$，$D(X_i)={\sigma }^2$，则：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{{\sum }_{k=1}^n{X}_k-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi (x)$$

核心思想：大量样本和 $\sum X_k$ 近似服从正态分布 $N(n\mu ,n{\sigma }^2)$。

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考点二：抽样分布

1. 统计量定义

• 样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$
• 样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$
• 次序统计量：$X_{(1)}=\min (X_i),X_{(n)}=\max (X_i)$

2. 三大抽样分布

分布类型	定义	重要性质
${\chi }^2$分布	$X_1,...,X_n\sim N(0,1)$，则 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n)$	可加性（独立）：${\chi }^2(n_1)+{\chi }^2(n_2)\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$
$t$分布	$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$，则 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$	对称性：$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n)$
$F$分布	$U\sim {\chi }^2(m),V\sim {\chi }^2(n)$，则 $F=\frac{U/m}{V/n}\sim F(m,n)$	倒数性质：$F_{1-\alpha }(m,n)=\frac{1}{F_{\alpha }(n,m)}$

3. 正态总体下的抽样分布

设 $X_1,...,X_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：

1. $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$，标准化得 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
2. $\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$，且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立
3. $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
4. ${\chi }^2=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$

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考点三：统计量的数字特征

统计量	期望	方差
样本均值 $\bar{X}$	$E(\bar{X})=\mu$	$D(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$
样本方差 $S^2$	$E(S^2)={\sigma }^2$	$D(S^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$
样本协方差 $S_{XY}$	$E(S_{XY})=\text{Cov}(X,Y)$	复杂表达式需特殊计算

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考点四：参数估计

1. 矩估计法

• 核心思想：用样本矩估计总体矩
  $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k\to E(X^k)$$
• 步骤：
  1. 建立方程 ${\hat{\mu }}_k=E(X^k)$
  2. 解方程得参数估计量

2. 最大似然估计

• 似然函数：
  离散型：$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{n}P(X_i;\theta )$
  连续型：$L(\theta )={\prod }_{i=1}^{n}f(X_i;\theta )$
• 求解步骤：
  1. 取对数 $\ln L(\theta )$
  2. 对 $\theta$ 求导并令导数为零
  3. 解方程得 ${\hat{\theta }}_{MLE}$

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考点五：估计量的评选标准

标准	数学定义	判定方法
无偏性	$E(\hat{\theta })=\theta$	计算期望验证等式成立
有效性	$D({\hat{\theta }}_1)<D({\hat{\theta }}_2)$	比较方差大小
一致性	${\lim }_{n\to \infty }P(|\hat{\theta }-\theta |\ge \epsilon )=0$	应用大数定律或切比雪夫不等式

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考点六：区间估计与假设检验

1. 区间估计

• 步骤：
  1. 构造枢轴量 $T(X,\theta )$（如 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$）
  2. 确定置信区间 $P(a<T<b)=1-\alpha$
  3. 反解得到 $\theta$ 的区间估计

正态总体均值区间估计：

• ${\sigma }^2$ 已知：$\mu \in \left(\bar{X}\pm z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)$
• ${\sigma }^2$ 未知：$\mu \in \left(\bar{X}\pm t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right)$

2. 假设检验

• 两类错误：

  错误类型	概率符号	发生条件
  第一类错误	$\alpha$	$H_0$ 为真但被拒绝（弃真）
  第二类错误	$\beta$	$H_0$ 为假但被接受（存伪）

• 检验步骤：

  1. 建立原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$
  2. 确定检验统计量及其分布
  3. 给定显著性水平 $\alpha$，确定拒绝域
  4. 根据样本计算统计量值，判断是否拒绝 $H_0$

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总结

本章重点掌握：

1. 大数定律与中心极限定理的理论联系与区别
2. 三大抽样分布的定义与正态总体的抽样分布性质
3. 参数估计的双重方法（矩估计与极大似然估计）
4. 假设检验的逻辑框架与两类错误的实际意义