2.1 行列式

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引言

行列式是线性代数的核心工具，贯穿矩阵运算、特征值计算与微分方程求解。本文系统梳理2.1节核心考点，结合公式速查与典型例题，助你高效突破行列式难点！

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考点一：数值型行列式计算

1️⃣ 行列式的定义

(1) 定义方式

• 排列逆序数法：
  $$|A|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$
  其中 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 为排列的逆序数。
• 几何意义：平行六面体体积的带符号值。

(2) 关键点

• 符号规则：交换两行（列）行列式变号。
• 数乘规则：某行（列）乘以常数 $k$，行列式变为 $k|A|$。

2️⃣ 行列式的性质

转置 ： $|A^T|=|A|$
行交换 ： 交换两行，行列式变号 ；交换第1、2行，$|A|\to -|A|$
数乘 ： 某行乘以 $k$，行列式变为 $k|A|$ ；第3行乘2，$|A|\to 2|A|$
行加法 ： 某行加上另一行的 $k$ 倍，行列式不变；$r_1\leftarrow r_1+k{r}_2$
分块对角矩阵： $\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=|A|\cdot |B|$

3️⃣ 特殊行列式计算

(1) 行和（列和）相等型

技巧：将其他行（列）加到目标行（列），提取公因子。
示例：
D = ∣ 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ∣ → r 1 + r 2 + r 3 ∣ 6 6 6 2 3 1 3 1 2 ∣ = 6 ∣ 1 1 1 2 3 1 3 1 2 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_1 + r_2 + r_3} \begin{vmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} D= ​123​231​312​ ​r1​+r2​+r3​ ​ ​623​631​612​ ​=6 ​123​131​112​ ​

(2) “么”型行列式

形式：
D = ∣ 0 0 ⋯ a 1 n 0 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ 0 ∣ D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{vmatrix} D= ​00⋮an1​​00⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮0​ ​
解法：按第一行展开，得 $D=(-1{)}^{n+1}{a}_{n1}\cdot M_{n1}$。

(3) “爪”型行列式

形式：
D = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 ⋯ 0 ∣ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix} D= ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮0​⋯⋯⋱⋯​a1n​0⋮0​ ​
解法：将第 $i$ 列乘 $-\frac{a_{i1}}{a_{1j}}$ 加到第1列（$i\ge 2$），化为上三角。

(4) 范德蒙德行列式

公式：
$$V_n=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
示例：
∣ 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 ∣ = ( x 2 − x 1 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) ​1x1​x12​​1x2​x22​​1x3​x32​​ ​=(x2​−x1​)(x3​−x1​)(x3​−x2​)

4️⃣ 一般行列式计算

(1) 化零展开法

步骤：

1. 利用行变换将某行（列）尽可能化为零。
2. 按零多的行（列）展开。
   示例：
   D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ → r 2 − 4 r 1 , r 3 − 7 r 1 ∣ 1 2 3 0 − 3 − 6 0 − 6 − 12 ∣ = 1 ⋅ ∣ − 3 − 6 − 6 − 12 ∣ = 0 D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \xrightarrow{r_2 - 4r_1, r_3 - 7r_1} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -6 \\ -6 & -12 \end{vmatrix} = 0 D= ​147​258​369​ ​r2​−4r1​,r3​−7r1​ ​ ​100​2−3−6​3−6−12​ ​=1⋅ ​−3−6​−6−12​ ​=0

(2) 特征值法

公式：$|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$（${\lambda }_i$ 为特征值）。
示例：
若 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，则 $|A|=1\times 2\times 3=6$。

5️⃣ 代数余子式

(1) 余子式与代数余子式

• 余子式：$M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式。
• 代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。

(2) 伴随矩阵

公式：
A ∗ = ( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ) A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​

(3) 行列式按行（列）展开定理

公式：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和：
$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第 }i\text{ 行展开})$$
或
$$|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第 }j\text{ 列展开})$$
示例：
计算行列式 D = ∣ 1 2 3 4 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} D= ​13​24​ ​ 按第一行展开：
$$D=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$$

(4) 不同行（列）代数余子式的正交性

公式：
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零：
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0(i\ne k)$$
或
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{il}=0(j\ne l)$$
示例：
设行列式 D = ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} D= ​147​258​369​ ​，计算第一行与第二行代数余子式的乘积和：
$$1\cdot A_{21}+2\cdot A_{22}+3\cdot A_{23}=0$$

6️⃣ 分块矩阵行列式

(1) 分块对角矩阵

∣ ( A 0 0 B ) ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \left| \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \right| = |A| \cdot |B| ​(A0​0B​) ​=∣A∣⋅∣B∣

(2) 分块上三角矩阵

∣ ( A C 0 B ) ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ \left| \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \right| = |A| \cdot |B| ​(A0​CB​) ​=∣A∣⋅∣B∣

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考点二：抽象矩阵的行列式

1️⃣ 行列式的乘法性质

• 乘法公式：$|AB|=|A|\cdot |B|$。
• 反例：$|A+B|\ne |A|+|B|$（除非特殊结构）。

2️⃣ 特征值与行列式

公式：
$$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$
示例：
若 $A$ 的特征值为 $2,-1,3$，则 $|A|=2\times (-1)\times 3=-6$。

3️⃣ 其他重要结论

(1) 不可逆矩阵

• 若 $A$ 不可逆（$r(A)<n$），则 $|A|=0$。

(2) 伴随矩阵的行列式

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

(3) 逆矩阵的行列式

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

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实战技巧

1. 化零优先：通过行变换构造零元素，简化展开计算。
2. 特征值法：已知特征值时直接相乘求行列式。
3. 分块处理：对分块矩阵利用对角块性质简化计算。

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总结：行列式的核心在于灵活运用性质化简计算，结合特征值与分块技巧可大幅提速。掌握抽象矩阵的行列式规律，是突破高阶题目的关键！

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