【题解】AtCoder AT_abc400_c 2^a b^2

题目大意

我们定义满足下面条件的整数 $X$ 为“好整数”：

• 存在一个 正整数 对 $(a,b)$ 使得 $X=2^a\cdot b^2$。
  给定一个正整数 $N$（$1\le N\le 10^{18}$），求 $1\sim N$ 中有多少“好整数”。

思路

下面是一张表格，第一列的数表示 $a$ 的值，第一行表示 $b$ 的值，第 $x$ 列第 $y$ 行的数表示 $2^x\cdot y^2$ 的值。

a \ b	1	2	3	4
1	2	8	18	32
2	4	16	36	64
3	8	32	72	128
4	16	64	144	256

观察可得，$2^1\times 4^2=2^3\times 2^2,2^2\times 4^2=2^4\times 4^2$，这的确是交换率的体现，但是我们仔细思考会发现，当 $b$ 是二的倍数的时候，无论 $a$ 取多少，都会有另一对 $(a^{\prime },b^{\prime })$ 满足 $2^{a^{\prime }}\cdot {b^{\prime }}^2=2^a\cdot b^2$。

那么我们可以基于这个规律来减少枚举次数：枚举 $b$ 的值，只需要枚举 $1\sim \lfloor \sqrt{N}\rfloor$ 的所有 奇数；然后枚举所有满足 $2^a\cdot b^2\le N$ 的 $a$。这种做法不但快捷，还可以保证不重不漏，可以在规定时间内输出正确的答案。

代码

赛时提交记录（含有一些多余内容）：Submission #64615650。

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

LL n, ans;

int main()
{
	cin >> n;
	for (LL i = 2; i <= n; i *= 2) ans++;
	for (LL i = 3; i * i * 2 <= n; i += 2)
		for (LL j = 2; i * i * j <= n; j *= 2)
			ans++;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

总结

这是一道数学思维题，难度与比赛分值 350 分相符。希望这篇题解对你有帮助，如有想法欢迎在评论区提出！