OpenGL--- (六)OpenGL中的向量、矩阵

向量

• 在3D笛卡尔坐标系中，基本上一个顶点就是XYZ坐标空间上的一个位置，而在空间中给定的一个位置恰恰是由一个单独的XYZ定义的。而这样的XYZ就是向量。在数学思维中，一个顶点也就是一个向量。

向量长度（向量的模）计算公式：

计算公式.png

在X轴上的向量(1,0,0)，向量的长度为1，我们称长度为1的向量为单位向量。
如果一个向量不是单位向量，而我们把它缩放到1，这个过程叫标准化。那么将一个向量进行标准化，也就是将它缩放成1，也叫做单位化向量。

OpenGL中的向量：

• OpenGL中向量的表示有两种方式：三维、四维。如下所示：

  
  

• 关于向量点乘和叉乘对应API汇总：

  
  

向量点乘（dot product）

• 点乘只能发生在两个向量之间。且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘。

如何进行单位化？
(x / |xyz|, y / |xyz|, z / |xyz|);
使⽤一个非零向量除以它的模(向量的⻓度), 就可以得到方向相同的单位向量

• 点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cosα，范围在[-1, 1]之间，是一个标量

标量：只有大小，例如：1，12，13等

点乘.png

OpenGL中针对相应点乘，提供了两个函数:

• m3dDotProduct3：获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
• m3dGetAngleBetweenVector3：获取2个向量之间夹⻆的角度，即α = arccos(余弦值)

向量叉乘（cross product）

• 两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面

• 由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线

  
  
  差乘.png

OpenGL中针对向量叉乘也提供了对应的API：

• m3dCrossProduct3：获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量

矩阵

单位矩阵

• 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
• 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
• 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数

矩阵分类

• 行优先矩阵：一行一行读取
• 列优先矩阵：一列一列读取

• 两者的关系为：行优先矩阵经过转置 即可的到列优先矩阵

  
  

矩阵的点乘

• 矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等

• 矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
  -规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素

  
  

矩阵的叉乘

• 矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数

• 矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
  -规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素

  
  

OpenGL中的矩阵

• OpenGL中单位矩阵有3种初始化方法
  1、通过GLFloat定义一个一维数组
  
  
  2、通过M3DMatrix44f创建一个单元矩阵
  
  
  3、通过方法m3dLoadIdentity44f创建单元矩阵

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

• OpenGL中，使用较多的矩阵都是一维数组创建的，且规定使用以列为主的矩阵排序。
• OpenGL中的矩阵都是4x4的，每一列都是由4个元素组成的向量

第一列表示x轴方向
第二列表示y轴方向
第三列表示z轴方向
第四列表示交换位置
列向量进行了特殊的标注，表示这是以列为主的矩阵，主要体现为矩阵的最后一行都是0，只有最后一个元素为1

理解OpenGL中的矩阵相乘

数学角度

• 数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示。
• 在数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘。

顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵

OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析

从OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析，主要有以下3步：
1、从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp
2、将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
3、将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵

而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知

• ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
• RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵

• 得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵

  
  
  
  

  由此可知，在实际的代码中，mvp矩阵的计算顺序是pvm，最后再将mvp矩阵与顶点矩阵相乘，得到物体变换后的顶点和位置。