3-11 瑞丽商

3-11 瑞丽商

定义3．11．1 设 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}=\mathbf{A}$ ，称实数

$$R(\mathbf{X})=\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\left(\mathbf{X}\in C^n,\mathbf{X}\ne 0\right)$$

为 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 Rayleigh 商。
由于 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值全是实数，不妨设 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值如下排列

$${\lambda }_1⩽{\lambda }_2⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$$

定理 3．11．1 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 Rayleigh 商具有如下性质：
（1）$R(kX)=R(X)(k\in \mathbf{R})$
（2）${\lambda }_1⩽R(X)⩽{\lambda }_n$
（3） ${\min }_{X\ne 0}R(X)={\lambda }_1,{\max }_{X\ne 0}R(X)={\lambda }_n$
证明（1）由定义3．11．1 可得。
（2）矩阵 $\mathbf{A}$ 可以酉对角化，即

$${\mathbf{U}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{U}=\mathrm{diag}\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)=\Lambda$$
命 $\mathbf{X}=\mathbf{U}\mathbf{Y}$ ，则

$$\begin{array}{rl}R(\mathbf{X})& =\frac{{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{U}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{U}\mathbf{Y}}{{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Y}}=\frac{{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{Y}}{{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Y}}\\ & =\frac{{\lambda }_1{y}_1{\bar{y}}_1+{\lambda }_2{y}_2{\bar{y}}_2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n{\bar{y}}_n}{{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Y}}\end{array}$$

因为

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_1\left(y_1{\bar{y}}_1+\cdots +y_n{\bar{y}}_n\right)& ⩽{\lambda }_1{y}_1{\bar{y}}_1+\cdots +{\lambda }_n{y}_n{\bar{y}}_n\\ & ⩽{\lambda }_n\left(y_1{\bar{y}}_1+\cdots +y_n{\bar{y}}_n\right)\end{array}$$

即

$${\lambda }_1{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Y}⩽{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{Y}⩽{\lambda }_n{\mathbf{Y}}^{\mathrm{H}}\mathbf{Y}$$

于是

$${\lambda }_1⩽R(X)⩽{\lambda }_n$$

（3）对于（2）中的每一个 $\mathbf{U}$ 适当选取 $\mathbf{X}$ ，使得 $y_2=y_3=\cdots =y_n=0$ ，便得

$$R(\mathbf{X})={\lambda }_1$$

类似地，适当选取 $X$ ，使得 $y_1=y_2=\cdots =y_{n-1}=0$ ，便得

$$R(X)={\lambda }_n$$

综合之，便得

$$\underset{X\ne 0}{\min }R(X)={\lambda }_1,\underset{X\ne 0}{\max }R(X)={\lambda }_n$$

定理 3．11．2 设 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\cdots ,{\mathbf{X}}_{k-1}$ 是 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 的分别属于特征值 ${\lambda }_1$ ， ${\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_{k-1}$ 的特征向量，$R_k$ 是子空间 $\mathrm{span}\left(X_1,X_2,\cdots ,X_{k-1}\right)$ 的正交补子空间，则

$${\lambda }_k=\underset{\mathbf{X}\in R_k}{\min }R(\mathbf{X})$$

证明 不妨设 ${\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\cdots ,{\mathbf{X}}_{k-1},{\mathbf{X}}_k,\cdots ,{\mathbf{X}}_n$ 为 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个标准正交的特征向量组．显然

$$R_k=\mathrm{span}\left(X_k,X_{k+1},\cdots ,X_n\right)$$

对于任意 $n$ 维向量 $\mathbf{X}$ ，均有

$$X=C_1{X}_1+C_2{X}_2+\cdots +C_n{X}_n$$

于是

$$\begin{array}{rl}R(X)& =\frac{X^{\mathrm{H}}AX}{X^{\mathrm{H}}X}\\ & =\frac{{\left(C_1{X}_1+C_2{X}_2+\cdots +C_n{X}_n\right)}^{\mathrm{H}}A\left(C_1{X}_1+C_2{X}_2+\cdots +C_n{X}_n\right)}{{\left(C_1{X}_1+C_2{X}_2+\cdots +C_n{X}_n\right)}^{\mathrm{H}}\left(C_1{X}_1+C_2{X}_2+\cdots +C_n{X}_n\right)}\\ & =\frac{{\lambda }_1{\bar{C}}_1{C}_1+{\lambda }_2{\bar{C}}_2{C}_2+\cdots +{\lambda }_n{\bar{C}}_n{C}_n}{C_1{\bar{C}}_1+C_2{\bar{C}}_2+\cdots +C_n{\bar{C}}_n}\\ & ={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n\end{array}$$

其中

$$a_i=\frac{{\bar{C}}_i{C}_i}{{\bar{C}}_1{C}_1+{\bar{C}}_2{C}_2+\cdots +{\bar{C}}_n{C}_n}⩾0,\text{ 且 }\sum _{i=1}^n{a}_i=1$$
当 $k=1$ 时，$R_1=C^n$ ．此即定理 3．11．1．
当 $k=2$ 时，$X\in R_2$ ，这时 $C_1=0$ ，故

$$\begin{array}{c}\mathbf{X}=C_2{\mathbf{X}}_2+C_3{X}_3+\cdots +C_n{X}_n\\ R(X)={\lambda }_2{a}_2+{\lambda }_3{a}_3+\cdots +{\lambda }_n{a}_n.\\ {\lambda }_2=\underset{\mathbf{X}\in R_2}{\min }R(X)\end{array}$$

于是
其余类推。
类似地还可以证明：
定理 3．11．3 设 $\mathbf{X}\in \mathrm{span}\left({\mathbf{X}}_r,{\mathbf{X}}_{r+1},\cdots ,{\mathbf{X}}_s\right),1⩽r<s⩽n$ ，则

$$\underset{\mathbf{X}\ne 0}{\min }R(\mathbf{X})={\lambda }_r,\underset{\mathbf{X}\ne 0}{\max }R(\mathbf{X})={\lambda }_s$$

定理3．11．4 设 $V_k$ 是 $n$ 维复向量空间中任意 $k$ 维子空间，则有极小一极大原理

$${\lambda }_k=\underset{V_k}{\min }\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }R(\mathbf{X})$$

或极大一极小原理

$${\lambda }_k=\underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{X\in V_{n-k+1}}{\min }R(X)$$

证明 $k-1$ 维子空间 $\mathrm{span}\left({\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2,\cdots ,{\mathbf{X}}_{k-1}\right)$ 的正交补子空间 $R_k$ 是 $n-k+1$维，因此 $V_k$ 与 $R_k$ 必有公共的非零向量 ${\mathbf{Y}}_k$ ，故

$$\underset{\mathbf{X}\in R_k}{\min }R(\mathbf{X})={\lambda }_k⩽R\left({\mathbf{Y}}_k\right)$$

又因为 ${\mathbf{Y}}_k\in V_k$ ，故

$$\begin{array}{rl}& R\left({\mathbf{Y}}_k\right)⩽\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }R(\mathbf{X})\\ & {\lambda }_k⩽\underset{V_k}{\min }\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }R(\mathbf{X})\end{array}$$

因此
又由前面定理知

$$\underset{V_k}{\min }\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }R(\mathbf{X})⩽\underset{\mathbf{X}\in L\left(X_1,X_2,\cdots ,X_k\right)}{\max }R(\mathbf{X})={\lambda }_k$$

综合两不等式可得

$${\lambda }_k=\underset{V_k}{\min }\underset{X\in V_k}{\max }R(\mathbf{X})$$

令 $\mathbf{B}=-\mathbf{A}$ ，则 $\mathbf{B}$ 的特征值按递减顺序排列

$${\mu }_1⩾{\mu }_2⩾\cdots ⩾{\mu }_n$$

其中 ${\mu }_k=-{\lambda }_{n-k+1}$ ，由刚才所证有

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_{n-k+1}& =-{\mu }_k=-\underset{V_k}{\min }\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{B}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\\ & =-\underset{V_k}{\min }\left\{\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\max }\frac{-{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\right\}\\ & =-\underset{V_k}{\min }\left\{-\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\min }\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{X^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\right\}\\ & =\underset{V_k}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_k}{\min }\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}=\underset{{\mathbf{V}}_k}{\max }\underset{\mathbf{X}\in {\mathbf{V}}_k}{\min }R(\mathbf{X})\end{array}$$

把 $n-k+1$ 用 $i$ 代替上式得

$${\lambda }_i=\underset{V_{n-i+1}}{\max }\underset{X\in V_{n-i+1}}{\min }R(X)$$

最后应用 Rayleigh 商研究 Hermite 矩阵特征值的摄动定理，即讨论矩阵的元素发生微小变化时对应矩阵特征值的变化范围。

定理3．11．5 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是 Hermite 矩阵，${\lambda }_i(\mathbf{A}),{\lambda }_i(\mathbf{B})$ 与 ${\lambda }_i(\mathbf{A}+\mathbf{B})$ 分别表示矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 的特征值，且特征值从小到大按递增顺序排列．则对于每一个 $k$ ，有

$${\lambda }_k(\mathbf{A})+{\lambda }_1(\mathbf{B})⩽{\lambda }_k(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩽{\lambda }_k(\mathbf{A})+{\lambda }_n(\mathbf{B})$$

证明 因为

$$\begin{array}{rl}{\lambda }_k(\mathbf{A}+\mathbf{B})=& \underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_{n-k+1}}{\min }\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\\ =& \underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_{n-k+1}}{\min }\left[\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}+\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{B}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\right]⩽\\ & \underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_{n-k+1}}{\min }\left[\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}+{\lambda }_n(\mathbf{B})\right]\\ =& {\lambda }_k(\mathbf{A})+{\lambda }_n(\mathbf{B})\\ {\lambda }_k(\mathbf{A}+\mathbf{B})=& \underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_{n-k+1}}{\min }\left[\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}+\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{B}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}\right]⩾\\ & \underset{V_{n-k+1}}{\max }\underset{\mathbf{X}\in V_{n-k+1}}{\min }\left[\frac{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{X}}{{\mathbf{X}}^{\mathrm{H}}\mathbf{X}}+{\lambda }_1(\mathbf{B})\right]\\ =& {\lambda }_k(\mathbf{A})+{\lambda }_1(\mathbf{B})\end{array}$$

例 3．11．1 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是 Hermite 矩阵，且 $\mathbf{B}$ 是半正定的，则

$${\lambda }_k(\mathbf{A})⩽{\lambda }_k(\mathbf{A}+\mathbf{B})$$

解 因为

$${\lambda }_{\dot{k}}(\mathbf{A}+\mathbf{B})⩾{\lambda }_k(\mathbf{A})+{\lambda }_1(\mathbf{B})$$

由于 $\mathbf{B}$ 为半正定矩阵，所以 ${\lambda }_1(\mathbf{B})⩾0$ ．从而得到所需结论．