《电磁学》第十二章

以下是《电磁学》第十二章的常见内容，以张三慧编著的《大学物理学电磁学（第3版）》为例 ：

12.1电荷

• 电荷是一种物质属性，有正、负电荷两类，同性相斥、异性相吸。
• 起电方法包括摩擦起电，即电荷从一物体转移到另一物体；感应起电，即电荷在同一物体上移动 。
• 电荷守恒定律表明电荷不能创造，也不会自行消失，只能从一个物体转移到另一个物体，在整个过程中电荷的代数和守恒。
• 电荷的量子化指物体带电量是基本电荷的整数倍。
• 电荷具有相对论不变性，实验证明氢分子和氦原子等都精确地呈电中性，即电荷电量与运动状态无关 。

12.2库仑定律与叠加原理

• 库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线。其表达式为$F_{12}=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$，其中$k=8.99\times 10^{9}N\cdot m^2/C^2$，在国际单位制中，也可表示为$F_{12}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\hat{r}}_{12}$，${ϵ}_0=8.85\times 10^{-12}{C}^2/N\cdot m^2$为真空介电常数。
• 叠加原理：多个点电荷对某一点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力的矢量和。即$F=F_1+F_2+\cdots +F_n$。利用这一原理和库仑定律，可以计算点电荷系和几何形状简单的带电体形成的电场。

12.3电场和电场强度

• 电场是电荷周围存在的一种特殊物质，电荷通过电场对其他电荷产生力的作用。
• 电场强度$E$是描述电场强弱和方向的物理量，定义为放入电场中某点的检验电荷所受的电场力$F$与检验电荷电荷量$q_0$的比值，即$E=\frac{F}{q_0}$。其单位为牛顿每库仑（N/C）或伏特每米（V/m）。根据库仑定律，点电荷$q$在距离其$r$处产生的电场强度为$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$。对于点电荷系或连续带电体产生的电场，可以根据电场强度叠加原理进行计算。

12.4静止的点电荷的电场及其叠加

• 计算点电荷产生的电场强度，如上述点电荷$q$在距离其$r$处产生的电场强度公式$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$。
• 对于多个点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理计算电场强度。例如，有$n$个点电荷$q_1,q_2,\cdots ,q_n$，在空间某点产生的电场强度为$E={\sum }_{i=1}^n{E}_i={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_i}{r_i^2}{\hat{r}}_i$，其中$E_i$是第$i$个点电荷在该点产生的电场强度，$r_i$是第$i$个点电荷到该点的距离，${\hat{r}}_i$是从第$i$个点电荷指向该点的单位矢量。
• 对于连续带电体，可以将其分割成无限多个微小的电荷元$dq$，每个电荷元可视为点电荷，然后根据叠加原理通过积分计算电场强度，即$E=\int \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}$。

12.5电场线和电通量

• 电场线：是为了形象地描述电场而引入的假想曲线，电场线上某点的切线方向表示该点的电场方向，电场线的疏密程度表示电场的强弱。
• 电通量：通过某一面积的电场线的条数称为通过该面积的电通量${\Phi }_E$。对于匀强电场，通过与电场方向垂直的平面$S$的电通量为${\Phi }_E=ES$；对于非匀强电场，通过任意曲面$S$的电通量为${\Phi }_E={\int }_{S}E\cdot dS$，其中$dS$是曲面$S$上的面积元矢量，其大小为$dS$，方向为该点的法线方向。

12.6高斯定律

• 高斯定律指出，通过任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷的代数和除以${ϵ}_0$，即${\Phi }_E={\oint }_{S}E\cdot dS=\frac{1}{{ϵ}_0}{\sum }_i{q}_i$，其中${\sum }_i{q}_i$是闭合曲面$S$内的电荷代数和。高斯定律表明电场线是从正电荷出发，终止于负电荷，并且在没有电荷的地方电场线不会中断或产生。
• 高斯定律的微分形式为$\nabla \cdot E=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$，其中$\rho$是电荷体密度，$\nabla \cdot E$表示电场强度的散度，它描述了电场在空间中的分布情况与电荷分布的关系。

12.7利用高斯定律求静电场的分布

• 当电荷分布具有一定的对称性时，如球对称、轴对称或面对称等，可以利用高斯定律方便地求出电场强度的分布。
• 例如，对于均匀带电球面，半径为$R$，带电量为$Q$。当$r<R$时，根据高斯定律可知，由于闭合曲面内没有电荷，所以$E=0$；当$r>R$时，选取半径为$r$的同心球面为高斯面，由高斯定律可得${\Phi }_E={\oint }_{S}E\cdot dS=E\cdot 4\pi r^2=\frac{Q}{{ϵ}_0}$，解得$E=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r^2}\hat{r}$，与点电荷的电场强度公式相同，说明均匀带电球面在外部空间产生的电场与位于球心的等量点电荷产生的电场相同。
• 再如，对于无限长均匀带电直线，单位长度带电量为$\lambda$。选取以带电直线为轴、半径为$r$、高为$h$的圆柱面为高斯面，根据高斯定律可得${\Phi }_E={\oint }_{S}E\cdot dS=E\cdot 2\pi rh=\frac{\lambda h}{{ϵ}_0}$，解得$E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}\hat{r}$，其中$\hat{r}$是垂直于带电直线且指向外的单位矢量，说明无限长均匀带电直线周围的电场强度与距离成反比，方向垂直于带电直线。