2.【线性代数】——矩阵消元

1. 消元法

求解方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=12\\ 4y+z=2\end{array}$$

可设
A = [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] , b = [ 2 12 2 ] 。那么方程组可以写为 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] [ x y z ] = [ 2 12 2 ] A =\begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix}。那么方程组可以写为 \begin{bmatrix} 1&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\ 12\\ 2 \end{bmatrix} A= ​130​284​111​ ​,b= ​2122​ ​。那么方程组可以写为 ​130​284​111​ ​ ​xyz​ ​= ​2122​ ​
矩阵消元的过程如下
[ 1 2 1 2 3 8 1 12 0 4 1 2 ] ⏟ 增广矩阵[A|b] ⇒ r o w 2 − 3 r o w 1 [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 4 1 2 ] ⇒ r o w 3 − 2 r o w 2 [ 1 2 1 2 0 2 − 2 6 0 0 5 − 10 ] \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 3&8 &1&12\\ 0&4&1&2 \end{bmatrix}}_{\text{增广矩阵[A|b]}} \xRightarrow{row_2-3row_1} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 0&\boxed{2} &-2&6\\ 0&4&1&2 \end{bmatrix} \xRightarrow{row_3-2row_2} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1&2\\ 0&\boxed{2} &-2&6\\ 0&0&\boxed{5}&-10 \end{bmatrix} 增广矩阵[A|b] ​1​30​284​111​2122​ ​​​row2​−3row1​ ​ ​1​00​22​4​1−21​262​ ​row3​−2row2​ ​ ​1​00​22​0​1−25​​26−10​ ​

其中，框住的数，为主元。

回代，得到方程组
$$\{\begin{array}{l}x+2y+z=2\\ 2y-2z=6\\ 5z=-10\end{array}\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\\ z=-2\end{array}$$

2. 单行或者单列的矩阵乘法

2.1 单行矩阵乘法

[ a b c ] [ r o w 11 r o w 12 r o w 13 r o w 21 r o w 22 r o w 23 r o w 31 r o w 32 r o w 33 ] = a ∗ r o w 1 + b ∗ r o w 2 + c ∗ r o w 3 \begin{bmatrix} a&b&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} row_{11}&row_{12}&row_{13}\\ row_{21}&row_{22}&row_{23}\\ row_{31}&row_{32}&row_{33} \end{bmatrix} =a*row_1+b*row_2+c*row_3 [a​b​c​] ​row11​row21​row31​​row12​row22​row32​​row13​row23​row33​​ ​=a∗row1​+b∗row2​+c∗row3​

2.2 单列矩阵乘法

[ c o l 11 c o l 21 c o l 31 c o l 12 c o l 22 c o l 32 c o l 13 c o l 23 c o l 33 ] [ a b c ] = a ∗ c o l 1 + b ∗ c o l 2 + c ∗ c o l 3 \begin{bmatrix} col_{11}&col_{21}&col_{31}\\ col_{12}&col_{22}&col_{32}\\ col_{13}&col_{23}&col_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} =a*col_1+b*col_2+c*col_3 ​col11​col12​col13​​col21​col22​col23​​col31​col32​col33​​ ​ ​abc​ ​=a∗col1​+b∗col2​+c∗col3​

3. 用矩阵记录消元过程（初等矩阵） 【行的线性组合（数乘和加法）】

3.1 row2-3row1的矩阵描述

[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] ⏟ E 21 [ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 ] ⏟ A = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{21}} \underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 3&8 &1\\ 0&4&1 \end{bmatrix}}_{\text{A}}= \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&4&1 \end{bmatrix} E21​ ​1−30​010​001​ ​​​A ​1​30​284​111​ ​​​= ​1​00​22​4​1−21​ ​

3.2 row3-2row2的矩阵描述

[ 1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 ] ⏟ E 32 [ 1 2 1 0 2 − 2 0 4 1 ] = [ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 ] ⏟ U \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&-2&1\\ \end{bmatrix}}_{E_{32}} \begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&4&1 \end{bmatrix} =\underbrace{\begin{bmatrix} \boxed{1}&2&1\\ 0&\boxed{2} &-2\\ 0&0&\boxed{5} \end{bmatrix}}_{\text{U}} E32​ ​100​01−2​001​ ​​​ ​1​00​22​4​1−21​ ​=U ​1​00​22​0​1−25​​ ​​​
其中 E矩阵，称为初等矩阵。经EA=U,其中U为上三角矩阵。

3.3 矩阵乘法的性质

结合律
$$E_{32}(E_{21}A)=U,(E_{32}{E}_{21})A=U$$
分配率
$$A(B+C)=AB+BC$$

不满足交换律 $$AB\ne BA$$

4. 用矩阵记录消元过程（置换矩阵） 行列交换

4.1 行交换

$$\underset{\text{置换矩阵}}{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]$$

4.1 列交换

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\underset{\text{置换矩阵}}{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}=\left[\begin{array}{cc}b& a\\ d& c\end{array}\right]$$

5. 逆矩阵

row2-3row1的逆操作是3row1+row2
[ 1 0 0 3 − 1 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ⏟ I \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 3&-1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}= \underbrace{\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix}}_{I} ​130​0−10​001​ ​ ​1−30​010​001​ ​=I ​100​010​001​ ​​​
$$E^{-1}E=I$$