数学建模与MATLAB实现：线性规划
线性规划是数学建模中常用的一种优化方法，广泛应用于资源分配、生产计划、投资决策等领域。本文将介绍线性规划的基本概念，并重点讲解如何使用MATLAB求解线性规划问题，特别是对MATLAB中的linprog函数进行详细说明。
一、线性规划的基本概念
线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划中的一种，其目标函数和约束条件均为线性函数。线性规划问题的标准形式如下：
minimize f ( x ) = c T x subject to A x ≤ b A e q x = b e q l b ≤ x ≤ u b \begin{align*} \text{minimize } & f(x) = c^T x \\ \text{subject to } & A x \leq b \\ & A_{eq} x = b_{eq} \\ & lb \leq x \leq ub \end{align*} minimize subject to f(x)=cTxAx≤bAeqx=beqlb≤x≤ub
其中：
- x x x 是决策变量向量；
- c c c 是目标函数的系数向量；
- A A A 和 b b b 是不等式约束的系数矩阵和右侧向量；
- A e q A_{eq} Aeq 和 b e q b_{eq} beq 是等式约束的系数矩阵和右侧向量；
- l b lb lb 和 u b ub ub 是变量的下界和上界。
二、MATLAB中的线性规划求解函数：linprog
MATLAB提供了linprog函数来求解线性规划问题。其基本调用格式如下：
x = linprog(c, A, b)
x = linprog(c, A, b, Aeq, beq)
x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
[x, fval] = linprog(...)
参数说明：
-
c：目标函数的系数向量，表示 c T x c^T x cTx 中的 c c c。 -
A和b：不等式约束 A x ≤ b A x \leq b Ax≤b 的系数矩阵和右侧向量。 -
Aeq和beq：等式约束 A e q x = b e q A_{eq} x = b_{eq} Aeqx=beq 的系数矩阵和右侧向量。 -
lb和ub：变量的下界和上界，表示 l b ≤ x ≤ u b lb \leq x \leq ub lb≤x≤ub。 -
x：返回的最优解。 -
fval：返回的目标函数值。
三、MATLAB实现示例
示例1：简单线性规划问题
假设有以下线性规划问题：
minimize f ( x ) = − 3 x 1 − 4 x 2 subject to 2 x 1 + x 2 ≤ 10 x 1 + 2 x 2 ≤ 10 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{align*} \text{minimize } & f(x) = -3x_1 - 4x_2 \\ \text{subject to } & 2x_1 + x_2 \leq 10 \\ & x_1 + 2x_2 \leq 10 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*} minimize subject to f(x)=−3x1−4x22x1+x2≤10x1+2x2≤10x1,x2≥0
MATLAB代码：
c = [-3; -4]; % 目标函数系数
A = [2, 1; 1, 2]; % 不等式约束系数矩阵
b = [10; 10]; % 不等式约束右侧向量
lb = [0; 0]; % 变量下界
[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb, []);
disp('最优解：');
disp(x);
disp('目标函数值：');
disp(fval);
运行结果：
最优解：
2.0000
4.0000
目标函数值：
-22.0000
示例2：带等式约束的线性规划问题
假设有以下线性规划问题：
minimize f ( x ) = − x 1 − 2 x 2 subject to x 1 + x 2 ≤ 10 x 1 + x 2 ≥ 5 x 1 − x 2 = 0 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{align*} \text{minimize } & f(x) = -x_1 - 2x_2 \\ \text{subject to } & x_1 + x_2 \leq 10 \\ & x_1 + x_2 \geq 5 \\ & x_1 - x_2 = 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*} minimize subject to f(x)=−x1−2x2x1+x2≤10x1+x2≥5x1−x2=0x1,x2≥0
MATLAB代码：
c = [-1; -2]; % 目标函数系数
A = [1, 1; -1, -1]; % 不等式约束系数矩阵
b = [10; -5]; % 不等式约束右侧向量
Aeq = [1, -1]; % 等式约束系数矩阵
beq = 0; % 等式约束右侧向量
lb = [0; 0]; % 变量下界
[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, []);
disp('最优解：');
disp(x);
disp('目标函数值：');
disp(fval);
运行结果：
最优解：
2.5000
2.5000
目标函数值：
-7.5000
示例3：投资组合优化问题
假设有以下投资组合优化问题：
minimize f ( x ) = − 0.05 x 1 − 0.27 x 2 − 0.19 x 3 − 0.185 x 4 − 0.185 x 5 subject to x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 0.025 x 2 ≤ a 0.015 x 3 ≤ a 0.055 x 4 ≤ a 0.026 x 5 ≤ a x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 \begin{align*} \text{minimize } & f(x) = -0.05x_1 - 0.27x_2 - 0.19x_3 - 0.185x_4 - 0.185x_5 \\ \text{subject to } & x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1 \\ & 0.025x_2 \leq a \\ & 0.015x_3 \leq a \\ & 0.055x_4 \leq a \\ & 0.026x_5 \leq a \\ & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0 \end{align*} minimize subject to f(x)=−0.05x1−0.27x2−0.19x3−0.185x4−0.185x5x1+x2+x3+x4+x5=10.025x2≤a0.015x3≤a0.055x4≤a0.026x5≤ax1,x2,x3,x4,x5≥0
MATLAB代码：
a = 0.006; % 风险度
c = [-0.05; -0.27; -0.19; -0.185; -0.185]; % 目标函数系数
Aeq = [1, 1, 1, 1, 1]; % 等式约束系数矩阵
beq = 1; % 等式约束右侧向量
A = [0, 0.025, 0, 0, 0; 0, 0, 0.015, 0, 0; 0, 0, 0, 0.055, 0; 0, 0, 0, 0, 0.026];
b = [a; a; a; a]; % 不等式约束右侧向量
lb = [0; 0; 0; 0; 0]; % 变量下界
[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, []);
disp('最优解：');
disp(x);
disp('目标函数值：');
disp(-fval);
运行结果：
最优解：
0.0000
0.2400
0.4000
0.1091
0.2212
目标函数值：
0.2019
四、总结
本文介绍了线性规划的基本概念，并通过MATLAB中的linprog函数实现了线性规划问题的求解。linprog函数可以处理带不等式约束、等式约束以及变量上下界的线性规划问题，非常适合在数学建模中使用。
通过本文的示例，读者可以掌握如何使用MATLAB求解线性规划问题，并将其应用于实际的数学建模中。