马尔科夫链（Markov Chain）没有发射概率 B

1. 马尔科夫链的定义

马尔科夫链是一种序列模型，其中状态是完全可见的，没有“隐藏”部分。它的转移是根据当前状态决定的，只关心当前状态转移到下一个状态的概率。其核心是 状态转移概率矩阵 $A$。

• 核心特点：只关注状态之间的转移，不涉及观察值（观测值）的生成。
• 数学定义：如果在时间 $t$ 的状态为 $X_t$，那么 $X_t$ 的分布只取决于 $X_{t-1}$，即满足马尔科夫性：
  $$P(X_t|X_{t-1},X_{t-2},\dots ,X_1)=P(X_t|X_{t-1}).$$

例子：
假设你正在模拟一个天气系统，状态可能是“晴天”“阴天”和“雨天”，它们之间的转移概率可以用一个矩阵 $A$ 来表示，例如：
A = [ 0.7 0.2 0.1 0.3 0.4 0.3 0.2 0.3 0.5 ] A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.2 & 0.3 & 0.5 \end{bmatrix} A= ​0.70.30.2​0.20.40.3​0.10.30.5​ ​
其中，$A_{ij}$ 表示从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率。

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2. 隐马尔科夫模型的定义

HMM 是马尔科夫链的扩展，增加了一个 “隐藏状态” 和 “观测值” 的机制。它不仅有状态转移概率矩阵 $A$，还需要 发射概率矩阵 $B$ 来描述每个隐藏状态如何生成观测值。

• 核心特点：

  1. $A$：描述隐藏状态之间的转移关系。
  2. $B$：描述隐藏状态如何生成观测值。
  3. 隐藏状态是不可见的，观测值是可见的。

• 数学定义：
  $$P(O,Q)=P(O|Q)P(Q),$$
  其中 $O$ 是观测序列，$Q$ 是隐藏状态序列。

例子：
延续天气的例子，假设我们不能直接观测到天气，而是通过温度高低来间接推断天气。那么：

• 隐藏状态：晴天、阴天、雨天。
• 观测值：高温、中温、低温。
• $B$：描述晴天可能导致高温的概率、中温的概率和低温的概率，例如：
  B = [ 0.8 0.1 0.1 0.2 0.6 0.2 0.1 0.3 0.6 ] B = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.3 & 0.6 \end{bmatrix} B= ​0.80.20.1​0.10.60.3​0.10.20.6​ ​
  其中，$B_{jk}$ 表示状态 $j$ 发射观测值 $k$ 的概率。

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3. 总结两者的区别

特性	马尔科夫链 (Markov Chain)	隐马尔科夫模型 (HMM)
状态是否可见	状态是可见的	状态是隐藏的
是否有观测值	没有观测值	有观测值
发射概率 $B$	没有，需要的只是转移概率 $A$	有，描述隐藏状态如何生成观测值
应用场景	天气预测、股市状态模拟等	语音识别、自然语言处理等

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因此，马尔科夫链只关心状态之间的转移，不涉及任何观测或发射行为，因此不需要发射概率 $B$。而 HMM 则更进一步，解决了隐藏状态与观测值之间关系的问题，通过 $B$ 矩阵建立观测值和隐藏状态的连接。