2025年1月24日（广义力和广义位移）

广义力和广义位移是经典力学中用于描述系统运动和相互作用的重要概念，尤其在拉格朗日力学和哈密顿力学中具有重要意义。

广义位移

广义位移是指在一个多自由度系统中，描述系统中各个自由度变化的量。它不仅可以是平移位移，也可以是旋转位移，通常用符号 $q_i$ 表示，其中 $i$ 是自由度的索引。

例子

考虑一个简单的摆锤系统，摆锤的运动可以用一个广义坐标 $\theta$ （摆锤的角度）来描述。在这种情况下，广义位移就是摆锤从一个角度 ${\theta }_1$ 移动到另一个角度 ${\theta }_2$ 的变化量，即：
$$\Delta q={\theta }_2-{\theta }_1$$

广义力

广义力是与广义位移相对应的量，用于描述施加在系统上的力。广义力通常用符号 $Q_i$ 表示，反映了系统中各个自由度的作用力。

例子

在上述摆锤的例子中，假设有一个外力 $F$ 施加在摆锤上，导致其角度发生变化。这个外力可以转化为广义力 $Q$ ，其计算方式通常涉及到力与位移的关系。例如，若外力 $F$ 作用在摆锤的末端，广义力可以表示为：
$$Q=F\cdot L\cdot \sin (\theta )$$
其中 $L$ 是摆锤的长度， $\theta$ 是摆锤与垂直方向的夹角。

总结

• 广义位移 $q_i$ ：描述系统中各个自由度的变化。
• 广义力 $Q_i$ ：与广义位移相对应，描述施加在系统上的力。
  这两个概念在拉格朗日方程中结合使用，可以帮助我们推导出系统的运动方程。通过广义坐标和广义力的引入，复杂系统的分析变得更加简洁和系统化。