[USACO22JAN] Tests for Haybales G

Farmer John 的奶牛们决定为 Farmer Nhoj 农场的奶牛们举办一场编程竞赛。为了使问题尽可能有趣，他们花费了大量时间来构造具有挑战性的测试用例。特别是对于一个问题，「Haybales」，奶牛们需要你的帮助来设计具有挑战性的测试用例。这有关解决以下这个有些奇妙的问题：

有一个有序整数数组 $x_1\le x_2\le \cdots \le x_N$（$1\le N\le 10^5$），和一个整数 $K$。你不知道这个数组以及 $K$，但你知道对于每个索引 $i$ 使得 $x_{j_i}\le x_i+K$ 的最大索引 $j_i$。保证有 $i\le j_i$ 以及 $j_1\le j_2\le \cdots \le j_N\le N$。

给定这些信息，Farmer John 的奶牛需要构造任意一个数组以及整数 $K$ 与该信息一致。构造需要满足对于所有 $i$ 有 $0\le x_i\le 10^{18}$，并且 $1\le K\le 10^{18}$。

可以证明这一定是可行的。请帮助 Farmer John 的奶牛们解决这一问题！

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先将 $j_i$ 都加上 $1$，这样 $j_i$ 就表示最大的满足 $x_{j_i}>x_i+K$ 的下标。

在 $i$ 和 $j_i$ 之间连边，最终会得到一棵树，以 $n+1$ 为根。

由于 $x_{j_i}$ 与 $x_i$ 的差大约为 $K$，于是（通过人类智慧）猜测 $x_i$ 形如 $x\cdot K+y(0\le y<K)$。$x$ 显然与深度有关，下面考虑求 $y$。

根据 $x_{j_i}>x_i+K$，可得 $y_u$ 大于其所有儿子的 $y$ 值，意味着 $y_u\ge$ 其子树所有的 $y$ 值。（通过人类智慧）发现树的 dfs 序完美不符合条件，于是令 $y_u=K-df{n}_u$，这样就行了。

注意 $x_i$ 为自然数，$K$ 只需 $\ge n+1$ 即可。

时间复杂度 $O(n)$。

#include
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,k,dep[N],ans[N],num;
int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt;
}
void dfs(int u)
{
    ans[u]=--k;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) dep[to[i]]=dep[u]+1,dfs(to[i]);
}
int main()
{
    cin.tie(0)->sync_with_stdio(0);
    cin>>n;
    cout<<(k=num=n+2)<<"\n";
    for(int i=1,x;i<=n;i++){
        cin>>x;
        add(x+1,i);
    }
    dfs(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<1ll*num*(dep[1]-dep[i])+ans[i]<<"\n";
}