C++最小生成树算法详解

C++最小生成树算法详解

引言

在图论中，最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是一个非常重要的概念。对于给定的带权无向连通图，最小生成树是一棵包含图中所有顶点且边权之和最小的树。它在网络设计、电路布线等实际应用中具有广泛的意义。本文将详细介绍两种常见的最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法，并提供C++实现代码。

一、最小生成树的基本概念

1.1 生成树

一个连通图的生成树是指一个连通子图，它包含图中的所有顶点，但只有足以构成一棵树的边（即没有回路）。对于有$n$个顶点的连通图，其生成树有$n-1$条边。

1.2 最小生成树

在带权图中，最小生成树是所有生成树中边权之和最小的那棵。最小生成树可能不唯一，但其边权之和一定是最小的。

二、Prim算法

2.1 算法思想

Prim算法是一种贪心算法，其基本思想是从一个任意选择的起始顶点开始，逐步将距离当前生成树最近的顶点加入到生成树中，直到所有顶点都被包含为止。具体来说，算法维护一个优先队列（或最小堆），用来存储尚未访问的顶点及其与当前生成树的最短距离。每次从优先队列中取出距离最小的顶点，并将其加入到生成树中，同时更新与其相邻顶点的距离。

2.2 算法步骤

1. 初始化：选择一个起始顶点，将其标记为已访问，并将其所有邻接边加入优先队列。
2. 迭代过程：从优先队列中取出距离最小的顶点，如果该顶点未被访问过，则将其标记为已访问，并将该边加入到最小生成树中。然后，将该顶点的所有邻接边加入优先队列。
3. 终止条件：当优先队列为空或所有顶点都被访问时，算法结束。此时，已经找到了最小生成树。

2.3 C++实现

以下是Prim算法的C++实现代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 5005;

int n, m, u, v, w, cnt, len;
ll sum;
bool vis[MAXN]; // 记录点是否已经在图中
int dis[MAXN][MAXN]; // 距离矩阵
vector<int> tos[MAXN];

struct cmp {
    bool operator()(pii a, pii b) {
        return a.first > b.first;
    }
};

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    while (m--) {
        cin >> u >> v >> w;
        dis[u][v] = min(w, dis[u][v]);
        dis[v][u] = dis[u][v];
        tos[u].push_back(v);
        tos[v].push_back(u);
    }

    // 任选一点作为起点，以1为例
    cnt = 1;
    vis[1] = true;
    len = tos[1].size();
    priority_queue<pii, vector<pii>, cmp> pq;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        pq.push(pii(dis[1][tos[1][i]], tos[1][i]));
    }

    // 加完了所有点或已经用完了所有边退出
    while (cnt != n && !pq.empty()) {
        pii tmp = pq.top();
        pq.pop();
        v = tmp.second;
        if (!vis[v]) {
            cnt++;
            vis[v] = true;
            sum += tmp.first;
            len = tos[v].size();
            for (int i = 0; i < len; i++) {
                if (!vis[tos[v][i]]) {
                    pq.push(pii(dis[v][tos[v][i]], tos[v][i]));
                }
            }
        }
    }

    if (cnt == n) {
        cout << sum << endl;
    } else {
        cout << "orz\n"; // 表示无法生成最小生成树
    }

    return 0;
}

2.4 代码解释

• dis数组用于存储图的邻接矩阵，表示顶点之间的边权。
• tos数组用于存储每个顶点的邻接顶点列表。
• vis数组用于标记顶点是否已经被访问过。
• pq是一个优先队列，用于存储尚未访问的顶点及其与当前生成树的最短距离。
• 算法从顶点$1$开始，逐步将距离最小的顶点加入到生成树中，并更新与其相邻顶点的距离。

三、Kruskal算法

3.1 算法思想

Kruskal算法也是一种贪心算法，其基本思想是按照边权值从小到大依次选择边，如果这条边的两个端点不在同一个连通块中，就把这条边加入到最小生成树的边集合中。具体来说，算法使用并查集（Disjoint Set Union, DSU）来维护顶点的连通性。

3.2 算法步骤

1. 初始化：将所有边按照权值从小到大排序，并初始化一个空的最小生成树和一个并查集。
2. 选择边：从排序后的边集合中选择权值最小的边，检查该边的两个顶点在并查集中是否属于同一个连通分量。如果不属于同一个连通分量，则将该边加入到最小生成树中，并将两个顶点所在的连通分量合并。
3. 重复步骤2：直到所有顶点都被连接起来，或者已经选择了$n-1$条边（$n$是顶点数），此时得到的树就是最小生成树。

3.3 C++实现

以下是Kruskal算法的C++实现代码：

#include 
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;

const int MAXN = 5005;

int n, m, u, v, w, cnt;
ll sum;
int pre[MAXN];

struct edg {
    int u, v, w;
};

struct cmp {
    bool operator()(edg e1, edg e2) {
        return e1.w > e2.w;
    }
};

int findroot(int x) {
    int r = x, tmp;
    while (r != pre[r]) {
        r = pre[r];
    }
    while (r != pre[x]) {
        tmp = pre[x];
        pre[x] = r;
        x = tmp;
    }
    return r;
}

void join(int x, int y) {
    int fx = findroot(x), fy = findroot(y);
    if (fx != fy) {
        pre[fx] = fy;
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    vector<edg> edges;
    while (m--) {
        cin >> u >> v >> w;
        edges.push_back({u, v, w});
    }

    sort(edges.begin(), edges.end(), cmp());

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        pre[i] = i;
    }

    for (auto &e : edges) {
        u = e.u;
        v = e.v;
        w = e.w;
        if (findroot(u) != findroot(v)) {
            cnt++;
            sum += w;
            join(u, v);
        }
        if (cnt == n - 1) {
            break;
        }
    }

    if (cnt == n - 1) {
        cout << sum << endl;
    } else {
        cout << "orz\n"; // 表示无法生成最小生成树
    }

    return 0;
}

3.4 代码解释

• edges向量用于存储图的所有边。
• pre数组用于实现并查集，表示每个顶点的父节点。
• findroot函数用于查找顶点的根节点，并进行路径压缩。
• join函数用于合并两个顶点的连通分量。
• 算法首先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将其加入到最小生成树中，并合并这两个连通分量。

四、算法比较与选择

4.1 时间复杂度

• Prim算法：使用邻接矩阵实现的时间复杂度为$O(n^2)$，使用堆优化后的时间复杂度为$O((V+E)\times {\log }_{2}V)$，其中$V$是顶点数，$E$是边数。对于稠密图，Prim算法的效率较高。
• Kruskal算法：时间复杂度主要由边的排序和并查集操作决定，边排序的时间复杂度为$O(E\times {\log }_{2}E)$，并查集操作的时间复杂度为$O(\alpha (n))$，其中$\alpha (n)$是反阿克曼函数，几乎可以认为是常数。因此，Kruskal算法的时间复杂度为$O(E\times {\log }_{2}E)$。对于稀疏图，Kruskal算法的效率较高。

4.2 空间复杂度

• Prim算法：需要存储图的邻接矩阵或邻接表，空间复杂度为$O(V^2)$或$O(V+E)$。使用堆优化后，还需要额外的$O(V)$空间来存储优先队列。
• Kruskal算法：需要存储所有边，空间复杂度为$O(E)$，以及并查集的空间开销$O(V)$。

4.3 适用场景

• Prim算法：适用于稠密图，即边数接近顶点数平方的情况。因为在这种情况下，Prim算法的时间复杂度较低。
• Kruskal算法：适用于稀疏图，即边数相对较少的情况。因为在这种情况下，Kruskal算法的时间复杂度较低。

五、总结

最小生成树是图论中的一个重要概念，Prim算法和Kruskal算法是两种常见的求解最小生成树的算法。Prim算法适合稠密图，而Kruskal算法适合稀疏图。在实际应用中，可以根据图的具体情况选择合适的算法。通过本文的介绍和C++实现代码，希望读者能够更好地理解和应用这两种算法。

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附：

$\alpha (n)$函数相关内容如下：

定义与性质

• 定义：反阿克曼函数$\alpha (x)$定义为最大的整数$m$，使得Ackermann函数$A(m,m)\le x$。由于阿克曼函数的增长速度极快（比指数级还快），其反函数$\alpha (x)$的增长则非常缓慢。

• 增长特性：对于可以想象到的$n$，$\alpha (n)$通常都是在$5$之内的，这意味着反阿克曼函数增长极为缓慢，几乎可以看作是一个常数。

计算方法

要找到阿克曼函数的反函数，即$\alpha (n)$，可以通过观察阿克曼函数的增长模式来设计一个近似算法。为了达到$O({\log }_{2}n)$的时间复杂度，可以采用二分查找的思想。首先猜测一个中间值$m$，然后检查$A(m,m)$是否小于或等于$n$。如果大于，则在左半区间继续搜索；如果小于或等于，就在右半区间继续搜索。每次都将搜索范围减半，直到找到满足条件的最大$m$或者搜索范围变得足够小。

应用场景

• 并查集算法：在集合的查找过程中顺便将树的深度降低，采用路径压缩后，每一次查询所用的时间复杂度为增长极为缓慢的反阿克曼函数$\alpha (x)$。对于可以想象到的$n$，$\alpha (n)$都是在$5$之内的，因此可以近似看作常数时间复杂度。