图论篇--代码随想录算法训练营第五十九天打卡|Bellman_ford 算法精讲，SPFA算法，Bellman ford之判断负权回路，Bellman ford之单源有限最短路

本系列算法用来解决有负权边的情况

Bellman_ford 算法精讲

题目链接：94. 城市间货物运输 I

题目描述：

某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。

网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。

请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。

城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。

算法思想：

图中不存在回路

Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路。（动态规划思想）

松弛操作：minDist[B] = min(minDist[A] + value, minDist[B])

对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。

代码：

• 时间复杂度： O(N * E) , N为节点数量，E为图中边的数量
• 空间复杂度： O(N) ，即 minDist 数组所开辟的空间

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector> grid;

    // 将所有边保存起来
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        // p1 指向 p2，权值为 val
        grid.push_back({p1, p2, val});

    }
    int start = 1;  // 起点
    int end = n;    // 终点

    vector minDist(n + 1 , INT_MAX);
    minDist[start] = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) { // 对所有边 松弛 n-1 次
        for (vector &side : grid) { // 每一次松弛，都是对所有边进行松弛
            int from = side[0]; // 边的出发点
            int to = side[1]; // 边的到达点
            int price = side[2]; // 边的权值
            // 松弛操