有关素数的算法

一、素性判断

素数，又叫质数，是指一个整数，除了1和本身之外，还有其它的因数（注意：1不是素数）。因此，对于一个整数 $n$，我们只要检测 $[2,n-1]$ 能否整除 $n$。
整除的定义：$\exists$ $a,b,k\in \mathbb{Z}$，使得 $a=kb$，则称 $b$ 整除 $a$，记 $b$ $|$ $a$。
若 $d$ 是 $n$ 的因数，则 $\frac{n}{d}$ 也是 $n$ 的因数。由 $n=d\ast \frac{n}{d}$ 可知，$min(d,\frac{n}{d})\le \sqrt{n}$。同时，我们知道了一个因数，就能求出另一个因数。所以，我们只要检测 $[2,\sqrt{n}]$ 即可。

• 判断一个正整数的素性

// 检测n是否是素数
bool if_prime(int n)
{
    // 遍历 [2, sqrt{n}]，素数要忽略1和本身
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
            return false;
    }
    return n != 1;        // 1 不是素数
}

该算法的核心思想是判断因数。以下两个算法也用到了该思想：

• 枚举一个正整数的所有因数

// 枚举n的因数
vector<int> divisors(int n)
{
    vector<int> ans;
    // 因数要包含1和本身
    for (int i = 1; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
            ans.push_back(i);
        if (i != n / i)             // i*i==n时，要忽略一个i
            ans.push_back(n / i);
    }
    return ans;
}

• 分解一个正整数

// 将整数n分解成若干个素数，除1和本身
map<int, int> factors(int n)
{
    map<int, int> ans;      // 分解n后，有ans[i]个i
    // n==1，特殊考虑
    if (n == 1)
    {
        ans[n] = 1;
        return ans;
    }
    // 1和本身总是因数，这里忽略
    for (int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        // 可能有若干个i
        while (n % i == 0)
        {
            ans[i]++;       // 分解出一个i
            n /= i;
        }
    }
    if (n != 1)             // n==1，已经分解完了
        ans[n] = 1;
    return ans;
}

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二、埃氏筛法

2.1 问题描述

给定正整数 $n$，求出 $n$ 以内有多少个素数。

2.2 问题简析

解决该问题需要用到埃氏筛法：先将 $[2,n]$ 内的整数写下来。接下来，开始筛数。每次筛数，保留最小的数 $m$，即素数，然后筛去 $m$ 的倍数。经过多轮的筛数，留下的就都是素数了。

2.3 代码

#include 

using namespace std;

#define MAX 10000000

int n;
vector<int> ans;
bool is_prime[MAX];

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	fill(begin(is_prime), end(is_prime), true);
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (is_prime[i])
		{
			ans.push_back(i);

			// 筛去 i 的倍数
			for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)
				is_prime[j] = false;
		}
	}

	printf("%d\n", ans.size());

	return 0;
}

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三、区间筛法

3.1 问题描述

给定正整数 $a$ 和 $b$，求除 $[a,b)$ 内的素数个数。

3.2 问题简析

由上文可知，$b$ 的最小质因数不大于 $\sqrt{b}$。所以，用 $[2,\sqrt{b})$ 就能筛去 $[a,b)$ 里的数。解释：
$$\begin{array}{rl}& \exists m\in [2,\sqrt{b})，使得m|b。假设m是素数，\\ & 则遍历到\sqrt{b}之前，就能筛去b。\end{array}$$

3.3 代码

#include 

using namespace std;

#define MAX 1000003

typedef long long ll;

ll a, b;
bool is_prime_mini[MAX];      // [2, sqrt(b))
bool is_prime[MAX];           // [a, b)

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &a, &b);

	fill(begin(is_prime_mini), end(is_prime_mini), true);
	fill(begin(is_prime), end(is_prime), true);

	// 筛[2, sqrt(b))
	for (int i = 2; (ll)i * i < b; i++)
	{
		if (is_prime_mini[i])
		{	// 筛[2, sqrt(b))
			for (int j = 2 * i; (ll)j * j < b; j += i)
				is_prime_mini[j] = false;

			// 筛[a, b)
			ll j = a / i;                 // 向下取整，可能差一个i
			if (j * i < a)    j += 1;     // 差一个i
			for (j *= i; j < b; j += i)
				is_prime[j - a] = false;  // [a, b) 压缩到 [0, b - a)
		}
	}

	int ans = 0;
	for (ll i = a; i < b; i++)
		if (is_prime[i - a])
			ans++;
	printf("%d\n", ans);

	return 0;
}

该算法有几个注意点：

• 1、一般区间筛法中 $a$ 和 $b$ 都是较大的，所以要用 long long 来存储。
• 2、区间一般默认左闭右开，所以两个循环判断条件都没有等号。
• 3、筛完 $[2,\sqrt{b})$ 后，再筛 $[a,b)$，需要注意 j 的取值。 j 应该为 i 的倍数，且 j 应该不小于 $a$，所以要先比较 j 与 $a$ 的大小。

---

完