C语言之猴子吃桃

目录

一 简介

二 代码实现

循环实现

递归实现

三 时空复杂度

A.循环实现

B.递归实现

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一 简介

猴子吃桃问题是一个经典的递推算法题目，它描述如下：

一只猴子第一天摘下若干个桃子，当天吃掉了所摘桃子数的一半多一个。之后每天早上，猴子都会吃掉前一天剩下桃子数的一半多一个。直到第十天早上，猴子只剩下了一个桃子。

二 代码实现

使用C语言来解决这个问题，可以通过循环或者递归的方式来计算猴子第一天到底摘了多少个桃子。以下是两种方法的简单示例：

循环实现

#include 

int main() {
    int day = 10; // 最后一天剩余桃子为1的那天
    int remaining_peaches = 1; // 第十天剩余的一个桃子
    
    // 从第9天向前推算到第1天
    for (int i = day - 1; i >= 1; i--) {
        // 根据题目条件，前一天剩余的桃子数是当前天数剩余桃子数的两倍加一
        remaining_peaches = (remaining_peaches + 1) * 2;
    }

    printf("第一天猴子摘了 %d 个桃子。\n", remaining_peaches);
    
    return 0;
}

递归实现

#include 

// 定义递归函数，计算第 n 天需要有多少桃子，才能在第 n+1 天剩下指定数量的桃子
int monkey_eats_peaches(int n, int remaining) {
    if (n == 1)
        return remaining;
    else
        return (monkey_eats_peaches(n - 1, remaining + 1) * 2);
}

int main() {
    int nth_day = 10;
    int last_remaining = 1;

    // 计算第1天猴子摘了多少个桃子
    int first_day_peaches = monkey_eats_peaches(nth_day, last_remaining);

    printf("第一天猴子摘了 %d 个桃子。\n", first_day_peaches);

    return 0;
}

上述代码中，无论是循环还是递归版本，都是通过逆向推理的方法得出第一天摘桃的数量。因为每一天剩余桃子的数量都是前一天剩余桃子数量的一半再加一，所以可以不断地将第十天的剩余桃子数翻倍并加一，以求得第九天、第八天……直至第一天的数量。

三 时空复杂度

A.循环实现

时间复杂度（Time Complexity）： 该程序中的主要运算在于for循环部分，循环次数是固定的，即从第9天向前推算到第1天，共执行了9次循环。每次循环内的基本操作是常数级别的，包括一次加法和一次乘法。因此，无论输入规模如何（在这个例子中，输入规模为“最后一天剩余桃子数”），循环都会执行固定的次数，故此段代码的时间复杂度为 ，表示其运行时间与输入规模无关，是一个常数时间复杂度算法。

空间复杂度（Space Complexity）： 在该程序中，只使用了两个整型变量 day 和 remaining_peaches 来存储固定大小的数据，并没有使用额外的空间随着输入规模的增长而增长。所以，这段代码的空间复杂度也是 ，表示所需额外空间是固定的，与输入规模无关，是常数空间复杂度算法。

B.递归实现

时间复杂度（Time Complexity）： 递归函数 monkey_eats_peaches 的时间复杂度取决于其递归深度。在这个例子中，递归深度是 n，即从第1天到第 nth_day 天。每次递归调用都会执行一次加法和乘法运算，但由于递归关系是指数增长的（每次调用参数减小1，但剩余桃子数增加1后翻倍），因此在最坏情况下，时间复杂度为 ，这是因为每次递归调用后，桃子数量大约翻倍。

空间复杂度（Space Complexity）： 对于递归算法的空间复杂度，考虑的是递归栈的使用情况。由于每次递归调用都需要将状态信息压入系统栈中，在这个递归版本中，最大递归深度也是 n。所以，该算法的空间复杂度同样为 ，表示随着输入规模增大，所需额外空间也会线性增长。在实际应用中，如果 n 很大，可能会导致栈溢出的问题。