03 凸优化理论-凸函数
03 凸函数
目录
3.1 凸函数的定义、性质（凸函数的判定）、示例
3.2 保凸运算
3.4 拟凸函数
3.5 对数凸函数
3.3 共轭函数
3.6 关于广义不等式的凸性
3.1 凸函数的定义、性质和例子
（一）凸函数的定义&扩展值延伸
3.1.1 定义
Def 1 凸函数的定义、几何含义
定理1：仿射函数等价于既凸又凹函数。
定理2 (凸性由函数在直线上的性质刻画)*：凸函数的充要条件是与其定义域相交的任何直线上都是凸的。（可以将函数限制在直线上来判断其是否为凸函数）
定理3：凸函数在其定义域相对内部连续，只可能在相对边界上不连续。
3.1.2 扩展值延伸
Def 2 凸函数扩展值延伸的定义
目的：简化定义域符号描述：例1.凸函数定义的简化；例2.两个凸函数逐点和函数定义域的简化
凸集的示性函数[符号描述更灵活]：例1.凸函数的极小化 简化
ps.凹函数扩展值延伸
（二）可微凸函数的充要条件
3.1.3 一阶条件
定理4（可微凸函数的一阶条件） ：假设f可微，则函数f是凸（严格）函数的充要条件是domf是凸集且对任意 x , y ∈ d o m f x,y \in domf x,y∈domf,下式成立：
f ( y ) ≥ ( > ) f ( x ) + Δ f ( x ) T ( y − x ) f(y)\geq(>) f(x)+\Delta f(x)^T(y-x) f(y)≥(>)f(x)+Δf(x)T(y−x)
一阶条件的含义：
1.凸函数等价于某函数的一阶泰勒近似是全局下估计
2.凸函数局部信息（某点函数值及导数）可知全局信息（全局下估计、全局极小）
定理5：如果 ▽ f ( x ) = 0 \bigtriangledown f(x)=0 ▽f(x)=0，那么对于所有 y ∈ d o m f y \in domf y∈domf,存在 f ( y ) ≥ f ( x ) f(y)\geq f(x) f(y)≥f(x)，即x是函数f的全局极小点。
ps.严格凸函数、凹函数的一阶条件
3.1.4 二阶条件
定理6（可微凸函数的二阶条件）*：假设f可微，则函数f是凸函数等价于Hessian矩阵是半正定矩阵：对于所有的 x ∈ d o m f x \in domf x∈domf，有 ▽ 2 f ( x ) ≥ 0 \bigtriangledown^2 f(x)\geq 0 ▽2f(x)≥0。
定理7（可微严格凸函数的二阶条件）：（1）假设f可微，则函数f是严格凸函数对于所有的 x ∈ d o m f x \in domf x∈domf，有 ▽ 2 f ( x ) > 0 \bigtriangledown^2 f(x)> 0 ▽2f(x)>0；（2）逆定理不一定成立。
ps.凹函数的二阶条件
示例：二次函数
注意：凸函数的定义域必须是凸集
3.1.5 例子(凸函数的判定)
证明方法：定义、直线上的等价、可微凸函数等价条件
一维凸函数：指数函数、幂函数、绝对值幂函数、对数函数、负熵
多维凸函数：范数、最大值函数、二次-线性分式函数、指数和的对数、几何平均、对数-行列式
（三）凸函数的性质
（1）3.1.6 下水平集
Def 3 下水平集的定义
定理8（不等价）：（1）凸函数的下水平集为凸集；（2）下水平集是凸集的函数不一定是凸函数。（反之不一定成立）
ps.上水平集的定义
（2）3.1.7 上境图
Def 4 上境图的定义
定理9（等价）*：一个函数是凸函数等价于其上境图是凸集，一个函数是凹函数等价于其下境图是凸集。
示例：矩阵分式函数
凸函数一阶条件的几何含义：上境图结合凸集的结论证明凸函数的结论
（3） 凸函数基本不等式的扩展
3.1.8 Jensen不等式及其扩展
Def 5 基本不等式扩展至多点的凸组合、积分、期望
3.1.9 不等式
利用Jensen不等式证明以下不等式：
Def 6 算数-几何平均不等式
Def 7 Holder不等式
3.2 保凸运算
(一) 基本的保凸运算
3.2.1 凸函数非负加权求和
定理10：（1）凸函数构成的集合是凸锥：凸函数的非负加权求和仍然是凸函数，即函数 f = w 1 f 1 + . . . + w m f m f=w_1f_1+...+w_mf_m f=w1f1+...+wmfm是凸函数；
（2）凹函数的非负加权求和是凹函数；
（3）严格凸（凹）函数的非负、非零加权求和是严格凸（凹）函数。
推论11（推广到无限项求和、积分情形）：如果固定任意 y ∈ A y \in A y∈A，函数f(x,y)关于x是凸函数，且对任意 y ∈ A y \in A y∈A，有 w ( y ) ≥ 0 w(y) \geq 0 w(y)≥0，则函数g，
g(x)=，关于x是凸函数。
3.2.2 仿射映射复合凸函数
定理12*：定义g(x)=f(Ax+b)，如果f是凸函数，则函数g是凸函数；如果f是凹函数，则函数g是凹函数。
3.2.6 透视函数
Def 8 透视函数的定义
定理13：（1）如果f是凸函数，则f的透视函数g也是凸函数；（2）如果f是凹函数，则f的透视函数g也是凹函数。
示例：
1.Euclid范数的平方 的透视函数
2.负对数的透视函数：相对熵、K-L散度、归一化熵
（二）逐点最大化、最小化
3.2.3 逐点最大和逐点上确界
1.逐点最大
定理14：（1）如果函数 f 1 和 f 2 f_1和f_2 f1和f2均为凸函数，则二者的逐点最大函数f(x)=max{ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) f_1(x),f_2(x) f1(x),f2(x)}仍然是凸函数；（2）对于凸函数 f 1 , . . . , f m f_1,...,f_m f1,...,fm同样成立。
示例：
1.分片线性函数
定理15：（1）分片线性函数是凸函数；（2）*凸函数可以表示为分片线性函数。
2.最大r个分量之和
定理16：最大r个分量之和是凸函数。
2.逐点上确界
逐点最大性质扩展至无限个凸函数的逐点上确界
定理17（一系列凸函数的逐点上确界是凸函数）：（1）如果对于任意 y ∈ A y \in A y∈A，函数f(x,y)关于x都是凸函数，则函数 g ( x ) = s u p y ∈ A f ( x , y ) g(x)=sup_{y \in A}f(x,y) g(x)=supy∈Af(x,y)关于x也是凸的。（2）一系列凹函数的逐点下确界是凹函数。
示例：
1.集合的支撑函数；
2.到集合中最远的距离；
3.以权为变量的最小二乘费用函数；
4.对称矩阵的最大特征值；
5.矩阵范数：（1）矩阵的二范数（矩阵的最大奇异值）；（2）推广至矩阵的一般范数（诱导范数）
定理18（将凸函数表示成一族仿射函数的逐点上确界）：几乎所有的凸函数都可以表示为一族仿射函数的逐点上确界。例如， R n R_n Rn中的凸函数f是它所有仿射全局下估计的逐点上确界。
3.2.5 最小化
特殊形式的最小化同样可以得到凸函数
定理19：如果函数f关于(x,y)是凸函数，集合C是非空凸集，定义函数 g ( x ) = i n f y ∈ C f ( x , y ) g(x)=inf_{y \in C}f(x,y) g(x)=infy∈Cf(x,y)。若存在某个x使得 g ( x ) > − ∞ g(x)>-\infty g(x)>−∞，则函数g关于x是凸函数。
示例：
1.Schur补的推导；
定理20：如果矩阵C可逆，称矩阵 A − B C − 1 B T A-BC^{-1}B^T A−BC−1BT是C在矩阵 ( A B B T C ) \left( \begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix} \right) (ABTBC)中的Schur补。如果该矩阵半正定，则Schur补也半正定。
2.到某一集合的距离；
3.h是凸函数，则函数g(x)=inf{h(y)|Ay=x}是凸函数
（三）复合
思路：复合函数 f ( x ) = h ( g ( x ) ) ， h : R k → R , g : R n → R k f(x)=h(g(x))，h:R_k\to R,g:R_n\to R_k f(x)=h(g(x))，h:Rk→R,g:Rn→Rk保凸时， h ( x ) 和 g ( x ) h(x)和g(x) h(x)和g(x)必须满足的条件
1.标量复合( k = 1 k=1 k=1)
定理21：对于n=1，假设函数f和g都是二次可微的， d o m g = R , d o m h = R domg=R,domh=R domg=R,domh=R，则：
（1）如果h是凸函数且非减，g是凸函数，则f是凸函数；
（2）如果h是凸函数且非增，g是凹函数，则f是凸函数；
（3）如果h是凹函数且非减，g是凹函数，则f是凹函数；
（4）如果h是凹函数且非增，g是凸函数，则f是凹函数；
定理22：对于n>1，无需假设函数f和g可微，其中 h ‾ \overline{h} h是h的扩展值延伸， d o m g = R n , d o m h = R domg=R_n,domh=R domg=Rn,domh=R，有：
（1）如果h是凸函数且 h ‾ \overline{h} h非减，g是凸函数，则f是凸函数；
（2）如果h是凸函数且 h ‾ \overline{h} h非增，g是凹函数，则f是凸函数；
（3）如果h是凹函数且 h ‾ \overline{h} h非减，g是凹函数，则f是凹函数；
（4）如果h是凹函数且 h ‾ \overline{h} h非增，g是凸函数，则f是凹函数；
含义： h ‾ \overline{h} h非减的含义
注意： h ‾ \overline{h} h非减的条件必不可少（反例）。
2.矢量复合( k ≥ 1 k \geq 1 k≥1)
定理23：对于n=1，假设函数f和g都是二次可微的， d o m g = R , d o m h = R k domg=R,domh=R_k domg=R,domh=Rk则：
（1）如果h是凸函数且在每维分量上h非减， g i g_i gi是凸函数，则f是凸函数；
（2）如果h是凸函数且在每维分量上h非增， g i g_i gi是凹函数，则f是凸函数；
（3）如果h是凹函数且在每维分量上h非减， g i g_i gi是凹函数，则f是凹函数；
（4）如果h是凹函数且在每维分量上h非增， g i g_i gi是凸函数，则f是凹函数；
定理24：对于n>1，无需假设函数f和g可微，其中 h ‾ \overline{h} h是h的扩展值延伸， d o m g = R n , d o m h = R k domg=R_n,domh=R_k domg=Rn,domh=Rk，有：
（1）如果h是凸函数且在每维分量上 h ‾ \overline{h} h非减， g i g_i gi是凸函数，则f是凸函数；
（2）如果h是凸函数且在每维分量上 h ‾ \overline{h} h非增， g i g_i gi是凹函数，则f是凸函数；
（3）如果h是凹函数且在每维分量上 h ‾ \overline{h} h非减， g i g_i gi是凹函数，则f是凹函数；
（4）如果h是凹函数且在每维分量上 h ‾ \overline{h} h非增， g i g_i gi是凸函数，则f是凹函数；
含义： h ‾ \overline{h} h非减的含义： d o m h − R + k = d o m h domh-R^k_+=domh domh−R+k=domh
示例：矢量复合的例子
3.4 拟凸函数
（一）拟凸函数的定义
3.4.2 基本性质
将拟凸函数的基本性质作为定义
Def 9 函数f是拟凸函数的充要条件是domf是凸集，且对于任意 x , y ∈ d o m f x,y\in domf x,y∈domf及 0 ≤ θ ≤ 1 0\leq θ \leq 1 0≤θ≤1，有 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≤ m a x f(θx+(1-θ)y)\leq max f(θx+(1−θ)y)≤max{ f ( x ) , f ( y ) f(x),f(y) f(x),f(y)}。也就是说，线段中任意一点的函数值不超过其端点函数值中最大的那个。
示例：
1.非零向量的基数；
2.半正定矩阵的秩；
（二）拟凸函数的性质
3.4.1 定义及例子(下水平集)
定理25（拟凸函数等价于下水平集是凸集）：函数 f ： R n → R f：R_n\to R f：Rn→R是拟凸函数，如果其定义域及其所有下水平集 S α S_α Sα={ x ∈ d o m f ∣ f ( x ) ≤ α x\in domf|f(x)\leqα x∈domf∣f(x)≤α}。
ps.1.拟线性函数的定义；2.凸函数是拟凸函数。
R R R上的拟凸函数示例：
1.对数函数是拟线性函数；
2.上取值函数是拟线性函数；
注：拟线性函数可能是凹函数，也可能不连续。
R n R_n Rn上的拟凸函数示例：
1.向量的长度是拟凸函数；
2. f ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 f(x_1,x_2)=x_1x_2 f(x1,x2)=x1x2是拟凹函数；
3.线性分式函数是拟线性函数；
4.距离比函数是拟凸函数；
5.内生回报率：（1）贴现的概念；（2）内生回报率是拟凹函数。
3.4.5 通过一族凸函数表示拟凸函数的下水平集
定理26：可以将拟凸函数f的下水平集表示为凸函数的不等式：选择一族凸函数 Φ t : R n → R , t ∈ R Φ_t:R_n\to R,t\in R Φt:Rn→R,t∈R表示凸函数的编号，这些函数满足 f ( x ) ≤ t f(x)\leq t f(x)≤t等价于 Φ t ≤ 0 Φ_t\leq 0 Φt≤0，即拟凸函数f的t-下水平集是凸函数 Φ t Φ_t Φt的0-下水平集。
示例：凸凹函数之比是拟凸函数
3.4.2 基本性质（直线上的性质）
定理27（拟凸性由函数在直线上的性质刻画） ：函数f是拟凸的充要条件是它在和其定义域相交的任意直线上是拟凸函数。
定理28（R上的拟凸函数的刻画）：f是R的拟凸函数，则该函数满足以下一个条件（1）函数f是单调的；（2）存在一点 c ∈ d o m f c\in domf c∈domf，使得对于 t ≤ c t\leq c t≤c(且 t ∈ d o m f t\in domf t∈domf)，f非增，对于 t ≥ c t\geq c t≥c(且 t ∈ d o m f t\in domf t∈domf)，f非减。
（三）可微拟凸函数的充要条件
一阶条件
定理29（等价）：函数 f ： R n → R f：R_n\to R f：Rn→R可微，则函数f是拟凸的充要条件是： d o m f dom f domf是凸集，且对于任意 x , y ∈ x,y \in x,y∈ domf有f(y) ≤ \leq ≤ f(x) ⇒ \Rightarrow ⇒ ∇ f ( x ) T ( y − x ) ≤ 0 \nabla f(x)^T(y-x)\leq0 ∇f(x)T(y−x)≤0。
ps：1.一阶条件的几何含义；2.凸性一阶条件和拟凸性一阶条件的区别。
二阶条件
定理30（不等价）：假设函数f二次可微，（1）如果函数f是拟凸函数，则对于任意 x ∈ d o m f x\in domf x∈domf以及任意 y ∈ R n y\in R_n y∈Rn有 y T ∇ f ( x ) = 0 y^T\nabla f(x)=0 yT∇f(x)=0 ⇒ \Rightarrow ⇒ y T ∇ 2 f ( x ) y ≥ 0 y^T\nabla^2 f(x)y\geq0 yT∇2f(x)y≥0；
（2）如果对于任意 x ∈ d o m f x\in domf x∈domf，以及任意 y ∈ R n y\in R^n y∈Rn，函数f满足
y T ∇ f ( x ) = 0 y^T\nabla f(x)=0 yT∇f(x)=0 ⇒ \Rightarrow ⇒ y T ∇ 2 f ( x ) y > 0 y^T\nabla^2 f(x)y>0 yT∇2f(x)y>0，则函数f是拟凸函数。
（四）保拟凸运算
1. 非负加权最大
（1）非负加权最大
定理31：f=max{ w 1 f 1 , . . . , x m f m w_1f_1,...,x_mf_m w1f1,...,xmfm}，其中 w i ≥ 0 , f i w_i\geq 0,f_i wi≥0,fi是拟凸函数，则函数f是拟凸函数。
（2）逐点上确界
推论32： f ( x ) = s u p y ∈ C ( w ( y ) g ( x , y ) ) f(x)=sup_{y\in C}(w(y)g(x,y)) f(x)=supy∈C(w(y)g(x,y))，其中 w ( y ) ≥ 0 w(y)\geq 0 w(y)≥0，固定任意y，g(x,y)关于x是拟凸函数。
示例：最大广义特征值是拟凸函数
2. 复合
定理33：如果函数 g : R n → R g:R_n\to R g:Rn→R是拟凸函数，且函数 h : R → R h:R\to R h:R→R是非减的，则复合函数f=h(g)是拟凸函数。
示例：拟凸函数和一个仿射函数或线性分式函数复合得到拟凸函数
3. 最小化
定理34：如果函数f(x,y)是x和y的联合拟凸函数，且C是凸集，则函数 g ( x ) = i n f y ∈ C f ( x , y ) g(x)=inf_{y\in C}f(x,y) g(x)=infy∈Cf(x,y)是拟凸函数。
3.5 对数凸函数
3.5.1 对数凸函数的定义
Def 10 对数凸函数的定义
定理35（对数凸函数的等价定义）：函数 f ： R n → R f：R_n\to R f：Rn→R，其定义域是凸集，且对于任意 x ∈ d o m f x\in domf x∈domf 有f(x)>0，函数是对数凸函数，当且仅当对任意 x , y ∈ d o m f , 0 ≤ θ ≤ 1 x,y\in domf,0\leqθ\leq1 x,y∈domf,0≤θ≤1，有 f ( θ x + ( 1 − θ ) y ) ≥ f ( x ) θ f ( y ) 1 − θ f(θx+(1-θ)y)\geq f(x)^θ f(y)^{1-θ} f(θx+(1−θ)y)≥f(x)θf(y)1−θ。
定理36（凸函数、拟凸函数、对数凸函数的关系）*：（1）对数凸函数 ⊂ \subset ⊂凸函数 ⊂ \subset ⊂拟凸函数；
（2）非负凹函数 ⊂ \subset ⊂对数凹函数 ⊂ \subset ⊂拟凹函数。
示例：
1.仿射函数；
2.幂函数；
3.指数函数；
4.Guass概率密度函数的累积分布函数；
5.Gamma函数；
6.行列式；
7.行列式与迹的比；
8.对数凹函数的概率密度函数：多变量正态分布概率密度函数、指数分布的概率密度函数、凸集C上均匀分布的概率密度函数、Wishart分布
3.5.2 相关性质
（一）可微对数-凸函数的性质
定理37（二次可微的对数-凸/凹函数）：函数f二次可微，其中domf是凸集，函数f是对数-凸函数等价于 ∇ 2 l o g f ( x ) = 1 f ( x ) ∇ 2 f ( x ) − 1 f ( x ) 2 ∇ f ( x ) ∇ f ( x ) T ≥ 0 \nabla^2logf(x)=\frac{1}{f(x)}\nabla^2f(x)-\frac{1}{f(x)^2}\nabla f(x)\nabla f(x)^T\geq 0 ∇2logf(x)=f(x)1∇2f(x)−f(x)21∇f(x)∇f(x)T≥0。
（二）保凸运算
1.乘积运算
定理38（乘积） ：对数凸以及对数凹对乘积以及正的伸缩运算是封闭的。
2.求和运算
定理39（求和）：（1）*对数凹函数的和一般不是对数凹函数；（2）对数凸函数的和是对数凸函数。
3.积分运算（求和运算的推论）
定理40（积分）：（1）对数凸函数的积分：如果对于任意 y ∈ C ， f ( x , y ) y\in C，f(x,y) y∈C，f(x,y)是x的对数凸函数，则函数 g ( x ) = ∫ C f ( x , y ) d y g(x)=\int_Cf(x,y)dy g(x)=∫Cf(x,y)dy是对数凸函数；
（2）对数凹函数的积分：在一些特殊情况下对数凹函数的在积分后的性质可以保留。即：如果函数 f : R n × R m → R f:R_n\times R_m\to R f:Rn×Rm→R是对数凹函数，则函数 g ( x ) = ∫ f ( x , y ) d y g(x)=\int f(x,y)dy g(x)=∫f(x,y)dy在 R n R_n Rn上是x的对数凹函数；
推论41：（1）对数凹函数的概率密度分布函数的边际分布是对数凹函数；（2）对数凹函数对卷积是封闭的；（3）设 C ⊂ R n C\subset R_n C⊂Rn是凸集，w是 R n R_n Rn上的随机向量，设其具有对数凹的概率密度函数p，则函数f(x)=prob( x + w ∈ C x+w\in C x+w∈C)是x的对数凹函数。
示例：
1.概率密度函数的累积分布函数；
2.产生函数；
3.多面体的体积
3.3 共轭函数
3.3.1 定义及示例
Def 12 共轭函数的定义、几何含义
定理42：共轭函数是凸函数。
示例：
1.R上凸函数的共轭函数；
（1）仿射函数；
（2）负对数函数；
（3）指数函数；
（4）负熵函数；
（5）反函数
2.严格凸的二次函数；
3.对数-行列式；
4.示性函数：支撑函数；
5.指数和的对数函数；
6.范数：对偶范数单位球的示性函数；
7.范数的平方；
8.总收入和收益函数
3.3.2 基本性质
（一）共轭的共轭
1.Fenchel不等式
定理43（Fenchel不等式）：对于任意x和y，如下不等式成立 f ( x ) + f ∗ ( y ) ≥ x T y f(x)+f^*(y)\geq x^Ty f(x)+f∗(y)≥xTy，该不等式称为Fenchel不等式。
推论44（Young不等式）：
常加粗样式用的Young不等式*：令 f ( x ) = x p − 1 f(x)=x^{p-1} f(x)=xp−1，g(x)= x 1 p − 1 x^{\frac{1}{{p-1}}} xp−11，可得
2.共轭的共轭
定理45*：如果函数f是闭的凸函数，则f**=f
（二）可微函数的共轭
定理46：可微函数的共轭称为f的Legendre变换，设函数f是凸函数且可微， f ∗ ( y ) = x ∗ T ∇ f ( x ∗ ) − f ( x ∗ ) f^*(y)=x^{*T}\nabla f(x^*)-f(x^*) f∗(y)=x∗T∇f(x∗)−f(x∗)。
（三）变换下的共轭函数
1.伸缩变换
定理47：若a>0以及 b ∈ R b \in R b∈R，g(x)=af(x)+b的共轭函数为 g ∗ ( y ) = a f ∗ ( y / a ) − b g^*(y)=af^*(y/a)-b g∗(y)=af∗(y/a)−b。
2.复合仿射变换
定理48：设 A ∈ R n × n A\in R_{n\times n} A∈Rn×n非奇异， b ∈ R n b\in R_n b∈Rn，则函数g(x)=f(Ax+b)的共轭函数， g ∗ ( y ) = f ∗ ( A − T y ) − b T A − T y g^*(y)=f^*(A^{-T}y)-b^TA^{-T}y g∗(y)=f∗(A−Ty)−bTA−Ty。
3.独立函数的和
定理49：独立凸函数的和的共轭函数是各个凸函数的共轭函数的和。
3.6 关于广义不等式的凸性
3.6.1 单调函数（广义不等式下）
Def 13 广义不等式的单调性
示例：
1.单调向量函数；
2.矩阵单调函数；
定理50（等价定义：单调性的梯度条件）：可微函数f，其定义域是凸集，它是K-非减的，当且仅当，对于任意 x ∈ d o m f x\in domf x∈domf，有 ∇ f ( x ) ≥ K ∗ 0 \nabla f(x)\geq_{K^*} 0 ∇f(x)≥K∗0。
3.6.2 凸函数（广义不等式下）
（一）定义及示例
Def 14 K-凸函数、严格K-凸函数的定义
示例：
1.关于分量不等式的凸性；
2.矩阵凸性；
定理51*：矩阵凸性的等价定义是对于任意向量z,标量函数 z T f ( x ) z z^Tf(x)z zTf(x)z都是凸函数
（二）性质
1. K-凸函数的判定
定理52（直线上的性质）：函数是K-凸的，当且仅当它在定义域上的任意直线上是K-凸的。
定理53（广义不等式的对偶）：（1）函数f是K-凸的，当且仅当对任意 w ≥ K ∗ 0 w\geq_{K^*}0 w≥K∗0，函数 w T f w^Tf wTf是凸的；
（2）函数f是严格K-凸的，当且仅当对任意非零向量 w ≥ K ∗ 0 w\geq_{K^*}0 w≥K∗0，函数 w T f w^Tf wTf是严格凸的。
定理54（可微的K-凸函数）：（1）可微函数f是K-凸的，当且仅当其定义域是凸集，且对于任意 x , y ∈ d o m f x,y\in domf x,y∈domf有 f ( y ) ≥ K f ( x ) + D f ( x ) ( y − x ) f(y)\geq_Kf(x)+Df(x)(y-x) f(y)≥Kf(x)+Df(x)(y−x)；
（2）可微函数f是严格K-凸的，当且仅当其定义域是凸集，且对于任意 x , y ∈ d o m f x,y\in domf x,y∈domf， x ≠ y x\neq y x=y 有 f ( y ) > K f ( x ) + D f ( x ) ( y − x ) f(y)>_Kf(x)+Df(x)(y-x) f(y)>Kf(x)+Df(x)(y−x)；
2. 复合定理
定理55：如果函数 g : R n → R p g:R_n\to R_p g:Rn→Rp是K-凸的，函数 h : R p → R h:R_p\to R h:Rp→R是凸的， h ‾ \overline h h是K-非减的，那么函数h(g)是凸的。