[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch01-2 完整定常系统——杆组RRR

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
《空间机构的分析与综合（上册）》-张启先，感谢张启先先生对机构学的卓越贡献，希望下册有见天明之日！
《高等机构学》-白师贤
《高等空间机构学》-黄真
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦

食用方法
务必自己计算编写程序

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1. RRR杆组

1.1 公式推导

1.1.1几何法

下述公式中的投影参数都是基于坐标系$\left\{F\right\}$进行描述的

已知杆组RRR两端回转副位置参数：$A:(x_A,y_A),C:(x_C,y_C)$ ，求解中间回转副B位置参数（要求B点位置存在——满足三角形存在条件）

其中，AC长为：$l_{AC}=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}$ ，且有：
$$\{\begin{array}{c}\phi =\mathrm{arc}\tan \left(\frac{z_C-z_A}{x_C-x_A}\right)\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ d=l_{AC}\\ {\alpha }_1=\mathrm{arc}\cos \left(\frac{{l_{AB}}^2+{l_{AC}}^2-{l_{BC}}^2}{2l_{AB}{l}_{AC}}\right)\in (0,\pi )\\ {\alpha }_2=\mathrm{arc}\cos \left(\frac{{l_{AB}}^2+{l_{BC}}^2-{l_{AC}}^2}{2l_{AB}{l}_{BC}}\right)\in (0,\pi )\\ {\alpha }_3=\mathrm{arc}\cos \left(\frac{{l_{AC}}^2+{l_{BC}}^2-{l_{AB}}^2}{2l_{AC}{l}_{BC}}\right)\in (0,\pi )\end{array}$$
建立闭环矢量方程：$R_{FA}+l_{AB}+l_{BC}=R_{FC}$ ，向固定坐标系基矢量投影，可得：
$$\{\begin{array}{l}{\hat{i}}^f:x_A+l_{AB}\cos {\theta }_A+l_{BC}\cos {\theta }_B=x_C\\ {\hat{j}}^f:y_A+l_{AB}\sin {\theta }_A+l_{BC}\sin {\theta }_B=y_C\end{array}$$
其中，位置参数$A:(x_A,y_A),C:(x_C,y_C)$已知 ，杆长$l_{AB},l_{BC}$已知，求解可得：
$${\theta }_{A1}=\{\begin{array}{c}\phi +{\alpha }_1(x_C-x_A\ge 0)\\ \phi +{\alpha }_{}\end{array}$$