005【算法篇】随机化快速排序及其时间复杂度

呃，本文有点长……还用到一点点概率论知识

在讲随机化之前，先说下目前大家所熟识的快速排序，先上伪代码：

PARTITION(A,p,r)
  x = A[p]
  i=p
  for j=p+1 to r
    if A[j]<=x
        i=i+1
        A[i]<->A[j]
  A[i]<->A[p]
  return i

最坏情况下的时间复杂度

我们先来分析下最坏情况下的时间复杂度。何为最坏情况？输入的数据已升序或者降序，致使每次划分的时候总有一个子数组中的元素个数为0，而另一个子数组中的元素个数为n-1，由此我们知道此时的时间复杂度为：

我们根据上一讲的递归树法进行分析，如下图所示：

WechatIMG46.png

故(1)式的时间复杂度计算如下：

最好情况下的时间复杂度

说完最坏情况，我们再聊最好情况，虽然我们一般不分析这种bogus。最好的情况下是什么样的呢？一般是说每次划分的主元刚好把数组一分为二，两个子数组的元素个数均为n/2，由此其时间复杂度为：

具体过程不证明了，具体可参见上一讲的内容。

综合来说，目前的快速排序其时间复杂度介于上述两种情况之间，也即：

由于输入的数据其排序程度我们难以控制，再加上实际工作中大部分情况下输入数据其实已经大致排序，所以使用常规的快速排序将趋于最坏情况下的时间复杂度，这也是我们不想看到的结果，由此下文我们将开始讨论随机化的快速排序。

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改变主元位置

由于我们无法控制输入数据的排序程度，又想得到趋近于最好情况的时间复杂度，我们还有什么办法？

既然我们无法控制输入数据，那我们是不是可以尝试下控制每次划分的主元？由于常规的快速排序我们的主元要么在数组的队首或者队尾，如果我们换到其它位置，可不可行？比如针对一组随机输入数据，每次按1:9来划分数组，会有怎么样的时间复杂度？

一般我们的思路是先大胆假设，然后小心论证，如果论证结果确实符合预期，那我们就可以对代码进行改造。话不多说，按刚刚的1:9来划分数组，我们将得到这样一个时间复杂度：

这种情况下无法直接使用主定理法，所以我们还是用老朋友递归树法画图如下：

WechatIMG48.png

由此可知：

发现了吗？最坏情况下的时间复杂度开始趋近于(nlgn)了！由此可以证明，针对随机化的输入数据，改变主元位置能够显著影响时间复杂度。

随机化快速排序

借由上文我们已经很清楚改变主元位置对时间复杂度的影响，那么我们是不是固定一个固定比例的划分就可以了？答案不是的，因为输入的数据存在一定随机性，我们不能保证每次用户提供的数据都是随机排序的，那么第一次按固定比例的划分假设是平衡的，不保证以后每次递归后的划分是平衡的，由此为了在各种输入场景下均保持良好的时间复杂度，我们想到了随机主元位置。

所谓随机主元位置，也即每次划分时的位置随机性选择A[1..n]中的某个位置k，将数组随机机划分为A[1..k-1]和A[k+1..n]两部分。

由于主元位置是随机的，也即每次主元位置的概率是相等的，数理统计中称x～B(0,1)，也即0-1分布，由此主元刚好划分到k时的数学期望为：

当主元位置随机之后，时间复杂度如何求解？如何验证确实针对任何输入数据情况下，均能有较好的时间复杂度？

当主元位置介于[1..n]之间时，共有n种划分方式，由此我们可以写出随机化下的时间复杂度：

由于k的位置是随机的，所以时间复杂度也是随机的，加上随机的机率相同，那么我们只需要利用概率论中的数学期望进行求解即可。

我们对(5)式进一步利用数学期望进行求解，可得如下过程：

式(6)最后一步的过程比较艰辛，我不是数学专业的，所以也搞不清楚计算过程，反正就这个么答案……感兴趣的童鞋可以利用上一讲的代换法进行验证（可能要用到微积分，我就不写了）。

由此可知，针对任何输入数组，无论其排序程度如何，随机化的快速排序的时间复杂度为(cnlgn)，趋近于最好情况下的时间复杂度，据说至少三倍速度于常规的快速排序。

最后奉上随机化快速排序的伪代码如下：

RANDOMIZED_PARTITION(A,p,r)
    i=random(p,r)
    A[p]<->A[i]
    return PARTITION(A,p,r)
    
RANDOMIZED_QUICKSORT(A,p,r)
    if p