凸优化之Convex set概念

凸集合

今天，定义一下凸集合（convex set）C：

假设凸集合C： C   , 有两个向量 x,y C,

使得 tx+(1-t)y  C 对于  t  [0,1] 恒成立。

用图示的方法表示就是： 第一个是凸集合，第二个不是凸集合。

convex set

convex hull

凸集合的常见例子：

1  空集，一个点，一条线

2 Norm ball:            

证明如下：

3  Hyperplane: 

4 Halfspace: 

5 Affine space:

6 Polyhedron:

Cone set

凸集合的几个重要性质：

凸函数概念

对于保留凸函数和凸集合的操作，这块就不继续展开了，大家如果对这些兴趣，欢迎阅读：

Boyd 的《convex optimization》

Rockafellar 的《convex analysis》