SDUTOJ2498---AOE网上的关键路径

题目描述

一个无环的有向图称为无环图（Directed Acyclic Graph），简称DAG图。
AOE(Activity On Edge)网：顾名思义，用边表示活动的网，当然它也是DAG。与AOV不同，活动都表示在了边上，如下图所示：

如上所示，共有11项活动（11条边），9个事件（9个顶点）。整个工程只有一个开始点和一个完成点。即只有一个入度为零的点（源点）和只有一个出度为零的点（汇点）。
关键路径：是从开始点到完成点的最长路径的长度。路径的长度是边上活动耗费的时间。如上图所示，1 到2 到 5到7到9是关键路径（关键路径不止一条，请输出字典序最小的），权值的和为18。

Input

这里有多组数据，保证不超过10组，保证只有一个源点和汇点。输入一个顶点数n(2<=n<=10000),边数m(1<=m <=50000),接下来m行，输入起点sv，终点ev,权值w（1<=sv,ev<=n,sv != ev,1<=w <=20)。数据保证图连通。

Output

关键路径的权值和，并且从源点输出关键路径上的路径（如果有多条，请输出字典序最小的）。

输入样例

9 11
1 2 6
1 3 4
1 4 5
2 5 1
3 5 1
4 6 2
5 7 9
5 8 7
6 8 4
8 9 4
7 9 2

输出样例

18
1 2
2 5
5 7
7 9

思路:
这个题的意思是让求源点和汇点的关键路径并输出,当有多条时,输出字典序最小的那个.
求最长路径,可以将权值加负号来求解,也可以改变松弛条件,距离大的更新.而Dijkstra算法无法处理负权边,也没有办法通过改变松弛条件来求解最长路(因为它用到了贪心的思想).求解最长路有一下两种方法:

1. 按照拓扑序列求解最长路.
2. 按照Bellman或SPFA算法,改变松弛条件,求解最长路.

但由于Bellman算法时间复杂度是O( n * m),可能会超时,所以为了减少复杂度需要使用SPFA算法,该复杂度是O(k * m),k是一个很小的数,最多为O(n*m)

其次由于要输出路径,而且路径要按照字典序选取,所以反向建图会更方便的输出(如果正向建图则需要借助于栈来进行输出,如果数据量大,可能通不过)

我们在进行前驱节点进行编号时,如果该节点的邻接点+中间的边后dis更长,则更新dis和前驱p.如果路径相等,但该节点的号更小则仍只更新前驱p.

这个题也可以使用Bellman-Ford实现.还可以一边求拓扑一边进行松弛,后序进行补充!

参考代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxv = 10000+10,maxe = 50000+10,INF = 0xc0c0c0c0;
int head[maxv],dis[maxv],p[maxv],in[maxv],out[maxv],vis[maxv],num,n,m;
struct Edge{
	int next,to,w;
}e[maxe];

void add(int u,int v,int w){
	e[++num].to = v;
	e[num].w = w;
	e[num].next = head[u];
	head[u] = num;	
}

void SPFA(int u){
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		dis[i]  =INF;
	}
	queue<int> q;
	q.push(u);
	vis[u] = 1;
	dis[u] = 0;
	p[u] = -1;
	while(!q.empty()){
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for(int i = head[x]; i ;i = e[i].next){
			if(dis[e[i].to]<dis[x]+e[i].w || (dis[e[i].to]==dis[x]+e[i].w&&p[e[i].to] > x)){
				dis[e[i].to] = dis[x]+e[i].w;
				p[e[i].to] = x;
				if(!vis[e[i].to]){//如果没有访问过就入队列. 
					q.push(e[i].to);
					vis[e[i].to] = 1;
				}
			}
		}
	}
}

int main()
{
	stack<int> stack1;
	int u,v,w,s,t,k;
	while(cin>>n>>m){
		//初始化
		memset(head,0,sizeof(head));
		memset(dis,0xc0,sizeof(head));
		memset(p,-1,sizeof(p));
		memset(in,0,sizeof(in));
		memset(out,0,sizeof(out));
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		num = 0;
		
	
		for(int i = 1;i <= m; i++){
			cin>>v>>u>>w;
			add(u,v,w);
			in[v]++;
			out[u]++;
		}
		for(int i = 1;i  <= n; i++){
			if(in[i]==0){
				s = i;
			
			}
			if(out[i]==0){
				t = i;
			}
			
		}
		SPFA(s);
		cout<<dis[t]<<endl;
		k = t;
		while(p[k]!=-1){//这里必须进行反向建边. 按说正向+栈也可以,但运行却不行.可能时间复杂度太高了.如果逆向建边,则直接从前往后输出即可,不需要使用栈. 
			cout<<k<<" "<<p[k]<<endl;
			k = p[k];
		}
//		while(p[k]!=-1){
//			stack1.push(k);
//			stack1.push(p[k]);
//			k = p[k];
//		}
//		while(!stack1.empty()){
//			//stack1.top();
//			cout<
//			stack1.pop();
//			cout<
//			stack1.pop();
//		}	
	}	
	return 0;
} 

参考代码2(Bellman-Ford)

#include
#include
using namespace std;
const int maxe = 50000+10,maxn = 10000+10;
struct node{
	int u,v,w;
}e[maxe]; //边集数组
int dis[maxn],p[maxn],in[maxn],out[maxn],n,m,s,t;
void Bellman_Ford(){
	int temp = 0; 
	for(int i = 0;i  < n-1; i++){//n-1次松弛 
		temp = 0;
		for(int j = 1; j <= m; j++){
			if((dis[e[j].v] < dis[e[j].u]+e[j].w)||(dis[e[j].v] == dis[e[j].u]+e[j].w &&p[e[j].v] > e[j].u)){//如果①路径更大 ②路径长度相等,但前驱节点可以更小.满足任意一个都可进行更新. 
				dis[e[j].v] = dis[e[j].u] + e[j].w;
				p[e[j].v] = e[j].u;
				temp = 1;
			}
		}
		if(!temp){//如果某一轮,没有发生更新则说明已跟新完毕. 
			break;
		}
	}

	 
} 

int main()
{
	int u,v,w,cnt;
	while(cin>>n>>m){
		//数据初始化 
		 memset(dis,0,sizeof(dis));
		 memset(p,-1,sizeof(p));
		 memset(in,0,sizeof(in));
		 memset(out,0,sizeof(out));
		 cnt = 0;
		for(int i = 1; i <=m; i++){
			cin>>v>>u>>w;//建立反向图 
			e[++cnt].u = u;
			e[cnt].v = v;
			e[cnt].w  = w;
			in[v]++;
			out[u]++;
		}
		for(int i = 1; i <= n; i++){
			if(!in[i]){
				s = i;
			}
			if(!out[i]){
				t = i;
			}
		}
		Bellman_Ford();
		cout<<dis[t]<<endl;
		int k = t;
		//输出关键路径
		while(p[k]!=-1){
			cout<<k<<" "<<p[k]<<endl;
			k = p[k];
		}
		
	}
	return 0;
 }