自动控制原理：如何用折线式伯德图计算截止频率？

在自动控制原理课程中，利用折线式伯德图计算截止频率是很常见的题型，下面介绍两种做法。

对于以下传递函数：
$$G(s)=\frac{50}{s^2(s^2+s+1)(10s+1)}=G_1(s)G_2(s)G_3(s)G_4(s)G_5(s)$$
其中：
$$G_1(s)=50，比例环节$$
$$G_2(s)=\frac{1}{s}，积分环节$$
$$G_3(s)=\frac{1}{s}，积分环节$$
$$G_4(s)=\frac{1}{s^2+s+1}，振荡环节，{\omega }_1=1rad/s$$
$$G_5(s)=\frac{1}{10s+1}，延时环节，{\omega }_2=0.1rad/s$$
首先画出伯德图的草图：

在卡西欧计算器上，利用未经化简的$L(\omega )$求解的结果是${\omega }_c=1.4193rad/s$，该值作为本文的真值。

方法一：利用$L(\omega )$的分段函数特点

利用[1]中的方法（具体思路不再重复），可以求出转折频率的估计值：
（1）假设${\omega }_c<0.1rad/s$，只考虑比例和积分环节，则有$$L(\omega )=20lg(50)-40lg(\omega )$$
令$L(\omega )=0$，解得$\omega =\sqrt{50}$，不符合假设，舍去。
（2）假设$0.1rad/s<{\omega }_c<1rad/s$，不考虑振荡环节，则有
$$L(\omega )=20lg(50)-40lg(\omega )-20lg(10\omega )$$
令$L(\omega )=0$，解得$\omega =\sqrt[3]{5}$，不符合假设，舍去。
（3）假设${\omega }_c>1rad/s$，则有
$$L(\omega )=20lg(50)-40lg(\omega )-20lg(10\omega )-40lg(\omega )$$
令$L(\omega )=0$，解得$\omega =\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s$，符合假设，是正确的截止频率。

方法二：利用$\omega$靠近零处的特点

当$\omega$很小时，除了积分环节，其他环节都可以忽略，因此：
$$L(\omega )=20lg(50)-40lg(\omega )$$
取$\omega =0.01rad/s$，有$L(0.01)=20lg(50)+80$
从$\omega =0.01rad/s$开始，$L(\omega )$不断下降，因此可以把${\omega }_c$看作是下降过程中的一点。从$\omega =0.01rad/s$处下降到${\omega }_c$处，$L(\omega )$首先经过了$\omega =0.1rad/s$，然后经过了$\omega =1rad/s$，由此画出下面的阶梯图：

对于图中折线的斜率，例如-40dB/dec，表示$\omega$每增大10倍，$L(\omega )$就减小40，其余的同理。
因此，可以直接写出$L({\omega }_c)$的表达式：
$$L({\omega }_c)=L(0.01)-40-60-100\frac{lg({\omega }_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=0$$
前面很好理解，最后一项是什么呢？不妨将-100dB/dec的直线延伸到$\omega =10rad/s$看看：

从$\omega =1rad/s$处到$\omega =10rad/s$处，$L(\omega )$减小了10。而图中的红色和黄色两个三角形是相似的，假设从$\omega =1rad/s$处到${\omega }_c$处下降了$x$，根据比例关系很容易有：
$$\frac{lg({\omega }_c)-lg(1)}{lg(10)-lg(1)}=\frac{x}{100}$$
用这种方法求出
$${\omega }_c=10^{\frac{lg(5)}{5}}=\sqrt[5]{5}=1.3797rad/s$$
与方法一的结论是相同的。

补充：
根据评论区carrot@的建议，最后“从$\omega =1rad/s$处到$\omega ={\omega }_{c}rad/s$处”也可以这么做：
假设$w=a$时，$L(a)=x$，${\omega }_c$在$a$的右侧。用d表示对数坐标系下横坐标到原点的长度，则有$d_1=lg(a),d_2=lg({\omega }_c)$。以$d$为自变量，可以写出直线$l$的方程如图。

如上，求出$y=0$时的${\omega }_c$表达式，然后代入$x$即可。

总结

从结果来看，两种方法得到的结论是相同的，且都和计算器求解的结果比较接近，但是方法二的求解过程明显更简单，做题更节省时间。

参考文献

[1] https://wenku.baidu.com/view/f6abcd52dd36a32d73758182.html