智能优化算法一元函数优化

目录

一、问题描述

二、解决方法

1.模拟退火

1.1 算法思路

1.2 求解代码

1.3 计算结果

2.粒子群算法 

2.1 算法思路

2.2 求解代码 

2.3 计算结果 

3.遗传算法

3.1 算法思路

3.2 求解代码

3.3 计算结果

一、问题描述

本篇文章所做的是分别用模拟退火、粒子群算法、遗传算法求解一元函数

                                 

这一函数在0-10区间的最大值问题，其函数图像为：

二、解决方法

1.模拟退火

1.1 算法思路

1. 首先，定义目标函数 f，该函数以一个变量 x 为输入，并返回一个数值。然后使用 fplot 函数绘制了这个函数在取值范围（即 0 - 10）之间的图像。
2. 接着，定义了初始温度 T，结束温度 T_final，以及降温系数 alpha。
3. 设定了自变量的取值范围 xlimit，在取值范围内随机选择一个值来定义初始解 init_x。
4. 定义了最大迭代次数 max_iterations。
5. 初始化了最优解 best_x 和最优解的函数值 best_f，它们的初始值设为初始解及其函数值。
6. 开始模拟退火算法的主要循环，迭代次数从1到最大迭代次数。
7. 在每次迭代中，在初始解上添加一个随机噪声得到一个新的解 new_x，并将其将新解限制在取值范围内。
8. 计算新解与当前解的函数值的差值 delta_f。
9. 如果新解的函数值比当前最优解的函数值更好（即 delta_f 大于0），或者满足Metropolis准则（即以一定的概率接受比当前最优解更差的解），那么接受新解作为当前解。
10. 如果新解比当前最优解更好，更新最优解。
11. 每次迭代后降低温度，如果温度已经低于结束温度，结束算法，否则继续迭代。

1.2 求解代码

function SA()

% 定义目标函数,并展示图像
f = @(x)10.*sin(5.*x)+7.*abs(x-5)+10;
figure(1);
fplot(f,[0,10]);
hold on
xlabel('自变量X');
ylabel('因变量Y');
  

% 定义初始温度和结束温度与降温系数 
T = 1000;  
T_final = 1e-6;  
alpha = 0.99;  

% 定义取值范围
xlimit = [0,10];
  
% 定义初始温度下的初始解  
init_x = xlimit(1, 1) + (xlimit(1, 2) - xlimit(1, 1)) * rand();
  
% 定义最大迭代次数  
max_iterations = 10000;  
  
% 初始化最优解和最优解的函数值  
best_x = init_x;  
best_f = f(init_x);  
  
% 开始模拟退火算法  
for iter = 1:max_iterations  
    % 生成新解  
    new_x = init_x + randn; 
    
    % 控制解的范围在给定区间内
    new_x = max(min(new_x, xlimit(2)), xlimit(1));
      
    % 计算目标函数值的差值  
    delta_f = f(new_x) - f(init_x);  
      
    % 如果新解更好，或者满足Metropolis准则，则接受新解  
    if delta_f > 0 || exp(-delta_f/T) > rand()  
        init_x = new_x;  
        if f(new_x) > best_f  
            best_x = new_x;  
            best_f = f(new_x);  
        end  
    end  

    % 展示当前最优解的情况
    plot(best_x,best_f,'b*','MarkerSize',5);
    title(strcat('当前迭代次数：',num2str(iter)));
    pause(0.03);
      
    % 降温  
    T = T* alpha^(iter/100);  
      
    % 如果温度足够低，结束算法  
    if T < T_final  
        break;  
    end  
end  
  
% 展示最终的结果
plot(best_x,best_f,'r*','MarkerSize',10);
grid on;
hold off;
fprintf(['The best x is --->\t',num2str(best_x),'\nThe fitness value is --->\t',num2str(best_f),'\n'])

end

1.3 计算结果

The best x is --->    0.28093
The fitness value is --->    52.8958 

2.粒子群算法 

2.1 算法思路

1. 首先定义了种群个数、迭代次数、惯性权重、可信度因子以及允许的精度误差。
2. 然后定义位置与速度的限制范围。
3. 接着，初始化了种群位置（x）、种群进化速度（v）、个体历史最佳位置（individual_best_x）、个体历史最佳适应度（individual_best_fitness）、种群历史最佳位置（global_best_x）、种群历史最佳适应度（global_best_fintness）等参数。
4. 进行粒子群算法的优化迭代。
5. 记录当前的种群历史最佳适应度（old_global_best_x）。
6. 然后计算每个粒子的适应度存储到 fitness 中。
7. 更新个体最佳适应度与位置、种群最佳适应度与位置。
8. 更新速度，公式为：

                              

   其中

     v：粒子的速度向量                                          pBest：粒子自身历史最优位置

     present：当前粒子的位置向量                        gBest：全局最优位置

     c1 和 c2：学习因子                                   rand()：[0, 1)之间的随机数  

9. 限定速度范围，更新位置，限定位置范围。
10. 判断迭代的历史最佳适应度和位置不会有太大的精度变化，若变化小于精度值则停止迭代。

2.2 求解代码 

function PSO()

N = 50;   % 初始种群个数
iterations = 200;  % 迭代的次数
w = 0.8;  % 惯性权重
c1 = 0.5; % 可信度因子1
c2 = 0.5; % 可信度因子2
precision = 0.001;   % 允许的精度误差

% 展示函数图像
figure(1);
fplot(@(x)10.*sin(5.*x)+7.*abs(x-5)+10,[0,10]);
hold on
xlabel('自变量X');
ylabel('因变量Y');

xlimit = [0,10];  % 设置位置参数限制
vlimit = [-1,1];  % 设置速度限制

% 初始化种群位置
x = xlimit(1, 1) + (xlimit(1, 2) - xlimit(1, 1)) * rand(1,N);  
% 初始化种群速度
v = rand(1,N);
% 每个个体的历史最佳位置初始化
individual_best_x = x;
% 每个个体的历史最佳适应度初始化
individual_best_fitness = zeros(1,N);
for i = 1:N
    individual_best_fitness(i) = objective_function(x(i));    
end
% 种群的最佳历史位置初始化
global_best_x = 0 ;
% 种群最佳历史适应度初始化
global_best_fintness = -inf;


iter = 1;
while iter <= iterations
    % 将历史最佳位置进行copy
    old_global_best_x = global_best_x;  

    % 计算每个粒子适应度,并记录在 fitness 中
    fitness = zeros(1,N);
    for i = 1:N
        fitness(i) = objective_function(x(i));
    end

    % 遍历每个粒子，如果该粒子的当前适应度大于其历史最佳适应度，则将该粒子的当前适应度作为历史最佳适应度，并将历史最佳位置赋值为当前位置。
    for i = 1:N
        if individual_best_fitness(i) < fitness(i)
            individual_best_fitness(i) = fitness(i);
            individual_best_x(i) = x(i);
        end
    end

    % 如果所有粒子中的最大适应度已经大于了全局历史最佳适应度，则将最大适应度最为全局历史最佳适应度，并记录位置
    if global_best_fintness < max(individual_best_fitness)
        [global_best_fintness, idx] = max(individual_best_fitness); % idx 为最佳适应度的位置标号
        global_best_x = individual_best_x(idx);
    end


    % 更新速度
    v = v .* w + c1 .* rand(1,N) .* (individual_best_x - x) + c2 .* rand(1,N) .* (repmat(global_best_x, 1, N) - x);

    % 将速度调整在限定范围内
    for i =1:size(v,2)
        v(i) = max(min(v(i), vlimit(2)), vlimit(1));
    end

    % 更新位置
    x = x + v;
    
    % 将位置调整在限定范围内
    for i =1:size(x,2)
        x(i) = max(min(x(i), xlimit(2)), xlimit(1));
    end

    % 如果迭代的历史最佳适应度和位置不会有太大的精度变化就停止
    if iter > 100
        if abs(global_best_x - old_global_best_x) < precision
            break
        end
    end

    % 展示每一次迭代中的最优解
    plot(global_best_x,global_best_fintness,'b*','MarkerSize',5);
    title(strcat('当前迭代次数：',num2str(iter)));
    pause(0.03);

    iter = iter + 1;
end

% 展示最终的结果
plot(global_best_x,global_best_fintness,'r*','MarkerSize',10);
grid on;
hold off;
fprintf(['The best x is --->\t',num2str(global_best_x),'\nThe fitness value is --->',num2str(global_best_fintness),'\n'])

end

% 定义目标函数
function fitness=objective_function(decimal_value)
    fitness=10*sin(5*decimal_value)+7*abs(decimal_value-5)+10;
end

2.3 计算结果 

The best x is --->    0.28607
The fitness value is --->52.899 

3.遗传算法

3.1 算法思路

1. 初始化种群、染色体、交叉率、变异率、迭代次数等一系列参数
2. 遗传算法循环迭代
3. 将二进制编码转化为十进制数值，即将二进制字符串转化为实际的自变量值。
4. 计算每个个体的适应度，即通过目标函数对应的数学计算，求得每个个体适应度值。
5. 选择操作，根据适应度值进行轮盘赌选择，选择出新的种群。
6. 交叉操作，采用单点交叉的方式对新种群进行交叉，生成新的子代个体。
7. 变异操作，以一定的概率对新种群进行变异，引入新的个体差异性。
8. 更新种群，计算新种群的适应度，记录最佳适应个体和适应度值，并绘制当前最佳个体的散点图。
9. 重复以上步骤，直到达到最大迭代次数。

3.2 求解代码

function GA()

figure(1);
fplot(@(x)10.*sin(5.*x)+7.*abs(x-5)+10,[0,10]);
hold on
xlabel('自变量X');
ylabel('因变量Y');

population_size=20;     % 种群大小
chromosome_length=20;   % 染色体长度
crossover_possibility=0.7;        % 交叉率
mutation_possibility=0.1;         % 变异率
max_generations=200;           % 最大迭代次数
bestfitness=-inf;       % 最佳适应度
bestindividual=0;       % 最佳适应个体
result=zeros(2,max_generations);       % 每次迭代的最佳适应个体与适应度
xlimit=[0,10];


% 初始化种群
population=round(rand(population_size,chromosome_length));     % 生成 population_size 个长度为 chromosome_length 字符串


% 循环迭代
for iter=1:max_generations
    
    % 1.二进制转化为十进制
    decimal_value = transcoding(population,xlimit,chromosome_length);
    

    % 2.计算函数目标值
    fitvalue=objective_function(decimal_value);


    % 3.选择操作（轮盘赌法）
    new_population=select(population,fitvalue);


    % 4.交叉操作（单点交叉）
    new_population = crossover(new_population,crossover_possibility);


    % 5.变异操作
    new_population = mutation(new_population,mutation_possibility);
    

    % 更新种群，重新计算种群的适应度，记录Best
    population=new_population;
    decimal_value = transcoding(population,xlimit,chromosome_length);
    fitvalue=objective_function(decimal_value);

    [row,~]=size(population);
    for i=1:row
        if bestfitness\t',num2str(bestindividual),'\nThe fitness value is --->',num2str(bestfitness),'\n'])
end

% 定义目标函数
function fitness=objective_function(decimal_value)
    fitness=10*sin(5*decimal_value)+7*abs(decimal_value-5)+10;
end


% 选择
function new_population=select(population,fitvalue)
    [row,col]=size(population);
    new_population=zeros(row,col);
    fitvalue_possibility=fitvalue/sum(fitvalue);  % 适应度与所有适应度的之和的比
    fitvalue_possibility=cumsum(fitvalue_possibility);  % 离散的概率转为0-1区间的累计和

    p_rand = sort(rand(row,1));  % 一列由小到大排列的随机数
    % 用p_rand去与做完了累计和的p_fitvalue作比较
    % 适应度越高就有越大的机率在p_fitvalue的累计和中占据更大的区间
    % 将会有较多的p_rand值落在区间
    % 用这种方法保留了适应度较大的基因
    i=1;
    j=1;
    while i <= row
        if p_rand(i)

3.3 计算结果

 

The best x is --->    0.2987
The fitness value is --->52.8792