机器学习笔记之最优化理论与算法(十二)无约束优化问题——共轭梯度法

引言

上一节主要介绍了共轭方向法的重要特征以及相关证明，本节将介绍共轭方向法的代表算法——共轭梯度法。

回顾：共轭方向法的重要特征

关于凸二次函数$f(x)$的优化问题：$\begin{array}{r}\min f(x)=\frac{1}{2}{x}^T\mathcal{Q}x+{\mathcal{C}}^{T}x\end{array}$，给定初始点$x_0$以及关于正交矩阵$\mathcal{Q}$的一系列共轭方向：$\mathcal{D}=\{d_0,d_1,\cdots ,d_{n-1}\}$，在迭代过程中的输出位置$x_k(k=1,2,\cdots ,n)$表示如下：
$$x_k=x_{k-1}+{\alpha }_{k-1}\cdot d_{k-1}k=1,2,\cdots ,n$$

基于上述操作产生的数值解序列$\{x_k{\}}_{k=1}^n$具有如下特征：

• 目标函数$f(\cdot )$在输出位置$x_k$处的梯度$\nabla f(x_k)$与迭代过程中使用过的共轭方向$d_i(i=0,1,\cdots ,k-1)$均相互垂直：
  $$[\nabla f(x_k){]}^T{d}_i=0i=0,1,\cdots ,k-1$$
• 如果定义集合${\mathcal{X}}_k$为$k$次迭代过程中$x_k$可选择的位置空间：
  $${\mathcal{X}}_k=\left\{x_0+\sum _{i=0}^{k-1}{\alpha }_i\cdot d_i\mid {\alpha }_i\in \mathbb{R}\right\}$$
  那么如果$x_k$是第$k$次迭代的最优解，等价于：
  $$x_k=\underset{x}{\mathrm{argmin}}\left\{\frac{1}{2}{x}^T\mathcal{Q}x+{\mathcal{C}}^{T}x\mid x\in {\mathcal{X}}_k\right\}$$
  并且当$k=n$时，此时的位置空间${\mathcal{X}}_n$就是由共轭方向$d_0,d_1,\cdots ,d_{n-1}$描述的投影空间：${\mathcal{X}}_n\in {\mathbb{R}}^n$，因而目标函数$f(x)$必然可以通过最多$n$次迭代找到最优解。
  • 首先，投影空间与原始特征空间不同，它是将正定矩阵$\mathcal{Q}$对角化后的特征空间效果;
  • 该特征空间是由共轭方向$d_i(i=0,1,\cdots ,n-1)$但并不是说它们是正交基：
    $$\forall d_i,d_j\in \mathcal{D},i\ne j\Rightarrow (d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_j=0$$
    令$\mathcal{Q}={\mathcal{P}}^2={\mathcal{P}}^T\mathcal{P}$，其中$\mathcal{P}$同样是正定矩阵。有：
    $$\begin{array}{rl}(d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_j& =(d_i{)}^T{\mathcal{P}}^T\mathcal{P}{d}_j\\ & =(\mathcal{P}{d}_i{)}^T(\mathcal{P}{d}_j)=0\end{array}$$
    可以看出：$\mathcal{P}{d}_i(i=0,1,\cdots ,n-1)$才是投影空间的正交基。当然$d_i$也有成为正交基的情况，即：$\mathcal{Q}={\mathcal{P}}^2=\mathcal{P}\Rightarrow \mathcal{P}=\mathcal{I}$。其中$\mathcal{I}$表示单位矩阵。

线性共轭梯度法

显然，上面存在被我们忽视的核心问题：如何通过一种简单方式获取一组共轭方向$?$

而共轭梯度法构造共轭方向的思想在于：在迭代下降的过程中，借助当前位置$x_k$的梯度信息构造共轭方向。对应算法步骤表示如下：
该操作是在迭代过程的同时构造梯度方向：初始化$d_0$,在构造新的共轭方向$d_1$时，需要保证其与$d_0$共轭；在构造$d_2$时，需要保证其与$d_0,d_1$均相互共轭，以此类推。

初始化操作：

• 给定初始点$x_0$，记$d_0=-\nabla f(x_0)$；设置阈值$ϵ>0$；$k=0$

算法过程：

• 事先判断$\Vert \nabla f(x_k)\Vert \le ϵ$是否成立$?$是，则算法终止；
• 计算当前迭代步骤的最优步长${\alpha }_k$：
  求解过程详见共轭梯度法背景介绍
  $${\alpha }_k=-\frac{[\nabla f(x_k){]}^T{d}_k}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}$$
• 计算新位置点：$x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k\cdot d_k$，并计算共轭方向$d_{k+1}$：
  $$d_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+{\beta }_k\cdot d_k,{\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_k}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}$$
• 令$k=k+1$，转步骤$1$重新判断。

共轭方向公式的证明过程

新共轭方向产生时，需要满足一个重要条件：与之前迭代产生的共轭方向均共轭：
$$(d_{k+1}{)}^T\mathcal{Q}{d}_i=0i=0,1,2,\cdots ,k$$
首先，尝试将$d_{k+1}$表示为：$x_{k+1}$负梯度方向$-\nabla f(x_{k+1})$与$d_0,d_1,\cdots ,d_k$线性组合的加法形式：
其中${\beta }_0,\cdots ,{\beta }_k$表示对应共轭方向的系数，是一个标量;
$$d_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+{\beta }_0{d}_0+{\beta }_1{d}_1\cdots +{\beta }_k{d}_k$$
将该式代入上面的重要条件，即：
在线性组合中，除去与$d_i$相同的一项外，其余项均为$0$。
$$\begin{array}{rl}(d_{k+1}{)}^T\mathcal{Q}{d}_i=0& \Rightarrow [-\nabla f(x_{k+1})+{\beta }_0{d}_0+{\beta }_1{d}_1\cdots +{\beta }_k{d}_k{]}^T\mathcal{Q}{d}_i=0\\ & \Rightarrow [-\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_i+{\beta }_0\cdot \underset{=0}{(d_0{)}^T\mathcal{Q}{d}_i}+\cdots +{\beta }_i\cdot (d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_i+\cdots +{\beta }_k\underset{=0}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_i}=0\\ & \Rightarrow [-\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_i+{\beta }_i\cdot (d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_i=0\end{array}$$
经过整理，有：
很明显:项$(d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_i$与项$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_i$描述的都是$1\times 1$的矩阵，一个值，移项就好啦~
$${\beta }_i\cdot (d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_i=\nabla f(x_{k+1}{)}^T\mathcal{Q}{d}_i\Rightarrow {\beta }_i=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_i}{(d_i{)}^T\mathcal{Q}{d}_i}$$
此时，当${\beta }_i$确定后，$d_{k+1}$必然与$d_i$共轭。同理，可以对所有的${\beta }_i(i=0,1,\cdots ,k)$进行求解，当所有的$\beta$值确定后，必然与$d_0,d_1,\cdots ,d_k$均共轭。但上面的结论公式中，仅仅描述了${\beta }_k$参数。也就是说：在迭代公式中，仅描述了$d_{k+1}$与$d_k$共轭，其余的共轭方向并没有提。

观察除了$d_k$之外的其他项。当$j=0,1,\cdots ,k-1$时，观察${\beta }_j$的分子部分：
$$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_j$$
关于共轭方向$d_j$，通过线搜索公式可以将其表示为如下形式：
$$x_{j+1}=x_j+{\alpha }_j\cdot d_j\Rightarrow d_j=\frac{x_{j+1}-x_j}{{\alpha }_j}$$
两边同时左乘正定矩阵$\mathcal{Q}$，有：
在小括号内两项同时加上系数项$\mathcal{C}$，符号不发生变化。很明显，$\mathcal{Q}{x}_{j+1}+\mathcal{C}$就是$\nabla f(x_{j+1}),\nabla f(x_j)$同理。
$$\begin{array}{rl}\mathcal{Q}{d}_j& =\frac{1}{{\alpha }_j}(\mathcal{Q}{x}_{j+1}-\mathcal{Q}{x}_j)\\ & =\frac{1}{{\alpha }_j}\left[(\mathcal{Q}{x}_{j+1}+\mathcal{C})-(\mathcal{Q}{x}_j+\mathcal{C})\right]\\ & =\frac{1}{{\alpha }_j}[\nabla f(x_{j+1})-\nabla f(x_j)]\end{array}$$
将$\mathcal{Q}{d}_j$的展开结果代入上式，有：
$$\begin{array}{rl}[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_j& =\frac{1}{{\alpha }_j}\cdot [\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{j+1})-\nabla f(x_j)]\\ & =\frac{1}{{\alpha }_j}\cdot \left\{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{j+1})-[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_j)\right\}\end{array}$$
观察大括号内第一项：$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{j+1})$，将$\nabla f(x_{j+1})$使用共轭方向进行表示：
$$\begin{gathered} d_{j+1}=-\nabla f(x_{j+1})+{\beta }_0{d}_0+{\beta }_1{d}_1+\cdots {\beta }_j{d}_j \\ \Downarrow \\ \nabla f(x_{j+1})=-d_{j+1}+{\beta }_0{d}_0+{\beta }_1{d}_1+\cdots +{\beta }_j{d}_j \end{gathered}$$
将其代入，有：
根据共轭方向法的第一条重要特征，所有项全部是$0$。
$$\begin{array}{rl}[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{j+1})& =-\underset{=0}{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T{d}_{j+1}}+{\beta }_0\cdot \underset{=0}{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T{d}_0}+\cdots +{\beta }_j\cdot \underset{=0}{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T{d}_j}\\ & =0\end{array}$$
同理，大括号内第二项：$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_j)=0$。最终可得：当$j=0,1,\cdots ,k-1$时,对应的分子${\beta }_j=0$，最终整理，有：
$$d_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+{\beta }_k\cdot d_k,{\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_k}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}$$

关于线搜索公式中参数的化简

关于线搜索公式中步长部分的化简

关于精确搜索条件下步长$\begin{array}{r}{\alpha }_k=-\frac{[\nabla f(x_k){]}^T{d}_k}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}\end{array}$，可以将其化简为如下形式：
目的是为了将线搜索过程中变量${\alpha }_k,d_k$的表达式与目标函数梯度信息建立起直观联系。
$${\alpha }_k=\frac{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}$$

化简描述：观察${\alpha }_k$分子部分的描述：$[\nabla f(x_k){]}^T{d}_k$，由于共轭方向$d_k$可表示为：
$$d_k=-\nabla f(x_k)+{\beta }_{k-1}\cdot d_{k-1}$$
对分子进行整理：
依然使用第一条重要特征：$[\nabla f(x_k){]}^T{d}_{k-1}=0$
$$\begin{array}{rl}[\nabla f(x_k){]}^T{d}_k& =[\nabla f(x_k){]}^T[-\nabla f(x_k)+{\beta }_{k-1}\cdot d_{k-1}]\\ & =-[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)+{\beta }_{k-1}\cdot \underset{0}{[\nabla f(x_k){]}^T{d}_{k-1}}\\ & =-[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)\end{array}$$
最终对分子部分进行替换即可。

关于线搜索公式中共轭方向系数的化简

精确搜索条件下关于共轭方向系数$\begin{array}{r}{\beta }_k=\frac{\nabla f(x_{k+1})\mathcal{Q}{d}_k}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}\end{array}$，可以将其化简为如下形式：
$${\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}$$

化简描述：观察分子$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\mathcal{Q}{d}_k$，使用$\begin{array}{r}\mathcal{Q}{d}_k=\frac{1}{{\alpha }_k}[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]\end{array}$进行替换，对于${\beta }_k$有如下表达：
$$\begin{array}{rl}{\beta }_k& =\frac{1}{{\alpha }_k}\cdot \frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]}{(d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}\\ & =\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]}{{\alpha }_k\cdot (d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k}\end{array}$$
根据化简后的${\alpha }_k$，有：
$$[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)={\alpha }_k\cdot (d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k$$
替换${\beta }_k$分母，有：
并将$[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_k)=0$带入
$$\begin{array}{rl}{\beta }_k& =\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}\\ & \\ & =\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}\end{array}$$

参数化简的目的

观察参数：$\begin{array}{r}{\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}\end{array}$的化简结果，可以发现：共轭方向$d_k$的迭代结果只与上一迭代步骤的共轭方向$d_k$与$x_k,x_{k+1}$位置的梯度相关。
$$d_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}\cdot d_k$$
这意味着：关于共轭方向的迭代过程与正定矩阵$\mathcal{Q}$，描述一次项系数矩阵$\mathcal{C}$没有关联关系。从而可以将凸二次函数$f(x)$的优化问题映射到其他复杂目标函数的优化问题中。

虽然上述的化简过程全部是取等操作，但这些取等操作是依赖于$\begin{array}{r}f(x)=\frac{1}{2}{x}^T\mathcal{Q}x+{\mathcal{C}}^{T}x\end{array}$条件的基础上。如果是一般性的复杂目标函数：得到的化简结果${\beta }_k$可能只是是一个近似解。因为上述化简过程中可能存在：
当然，不仅仅是下面描述的迭代步骤中存在不相等的情况，在替换$[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)={\alpha }_k\cdot (d_k{)}^T\mathcal{Q}{d}_k$时，无论是$\text{FR}$方法还是$\text{PRP}$方法，其得到的${\beta }_k$都不是精确解。因为$\mathcal{Q}$是凸二次函数的特有信息，而一般性目标函数可能不存在该信息，或者说$\mathcal{Q}$存在，但不作主导作用。
$$\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}\ne \frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)}$$

非线性共轭梯度法(FR,PRP方法)

关于$\text{FR,PRP}$方法的区别在于${\beta }_k$的迭代方式。关于非线性共轭梯度法的迭代过程表示如下：

初始化操作：

• 给定初始点$x_0$，记$d_0=-\nabla f(x_0)$；设置阈值$ϵ>0$；$k=0$

算法过程：

• 事先判断$\Vert \nabla f(x_k)\Vert \le ϵ$是否成立$?$是，则算法终止；
• 利用线性搜索方式计算步长${\alpha }_k$：
  • 此时的目标函数可能已经不是形如$\begin{array}{r}f(x)=\frac{1}{2}{x}^T\mathcal{Q}x+{\mathcal{C}}^{T}x\end{array}$的格式，因而不能使用公式进行求解;甚至此时的目标函数不一定是凸函数,从而求解的最优解可能仅是局部最优解,而不是全局最优解；
  • 在迭代过程中并不一定需要求解精确解，我们的目的是让目标函数收敛至最小值详见线搜索方法——步长角度(精确搜索),因此完全可以使用非精确搜索如$\text{Armijo,Wolfe}$准则等获取优质步长。
• 计算新位置点：$x_{k+1}=x_k+{\alpha }_k\cdot d_k$，并计算共轭方向$d_{k+1}$：
  $$d_{k+1}=-\nabla f(x_{k+1})+{\beta }_k{d}_k$$
  其中$\text{FR}$方法使用的${\beta }_k$的计算方式为：
  $${\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T\nabla f(x_{k+1})}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)};(\text{FR})$$
  而$\text{PRP}$方法使用${\beta }_k$的计算方式为：
  $${\beta }_k=\frac{[\nabla f(x_{k+1}){]}^T[\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)]}{[\nabla f(x_k){]}^T\nabla f(x_k)};(\text{PRP})$$
• 令$k=k+1$并转步骤$1$重新判断。

关于非线性共轭梯度法的说明

• 根据线搜索公式的描述，在迭代过程中关于共轭方向$d_k$的计算需要满足一个大前提：$d_k$是下降方向。相反，如果不是下降方向，需要对参数${\beta }_k$进行调整。
  但这种调整同样存在风险：$d_k$与其他方向不是共轭关系。

• 根据线性共轭梯度法的描述，其必然会在最多$n$次迭代内找到凸二次函数的全局最优解。这意味着：该算法具有二次终止性；

• 在算法实现过程中通常采用$n$步重启策略，从而该算法的收敛速度可达到$n$步二阶收敛。
  关于$n$步重启策略的描述：在执行$n$次迭代后，此时当前位置点的所有分量均被更新一次。如果在$x_n$位置处开始重新计算梯度：$d_n=-\nabla f(x_n)$此时和初始化点$x_0$的计算方式是相同的。后续迭代与前面的迭代方式均相同。例如：
  $$d_{n+1}=-\nabla f(x_{n+1})+{\beta }_n\cdot d_n$$
  和线性共轭梯度法的区别在于：此时由于复杂的目标函数，该算法无法实现$n$步迭代/$1$次线搜索过程完成收敛。也就是说：每$n$次迭代后，迭代结果会在投影空间中描述一个全新的位置。这里的全新是指所有维度均被更新一次的结果。从而可能需要若干个$n$次迭代才能达到最优解。

  为什么要使用$n$步重启策略:在迭代足够多次数的情况下，初始的一些共轭方向已经不会对当前迭代结果产生太大作用。但如果使用正常的迭代方式。初始共轭方向依然会以线性组合的形式留在当前迭代结果中，从而影响当前迭代的方向。例如关于$d_{n+1}$的正常迭代:
  $$d_{n+1}=-\nabla f(x_0)+\sum _{i=0}^n{\beta }_i\cdot d_i$$

$\text{Reference}$：
最优化理论与方法-第七讲-无约束优化问题（三）