斐波那契数列

最近听到教练提及斐波那契额数列Fibonacci，于是饶有兴趣地翻了一下以前学习的内容，顺便整理一下思路，另外最近又在学习如何撸es6的代码。

额。。。车开得太多了，一不小心容易超速，言归正传，es6是指ECMAScript6，入门可以参考【ECMAScript 6 入门】

1 什么是斐波那契Fibonacci数列？

Fibonacci数列是这样一个数列，它满足以下特性：

2 实现思路

2.1 递归法

递归法的特点就是实现非常清晰，易于理解，但是时间复杂度为

const fibonacci = n => {
  if (n === 1 || n === 2) return 1;
  return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
    
console.log("fibonacci(10) =>", fibonacci(10));
console.log("fibonacci(20) =>", fibonacci(20));
console.log("fibonacci(30) =>", fibonacci(30));
console.log("fibonacci(40) =>", fibonacci(40));
console.log("fibonacci(50) =>", fibonacci(50));

然后输出结果

fibonacci(10) => 55
fibonacci(20) => 6765
fibonacci(30) => 832040
fibonacci(40) => 102334155
fibonacci(50)  Sorry，我的机器太慢了，看样子要升级机器配置了

2.2 正推法

所谓正推法就是利用空间换时间的思路，那个学习过数据结构的都知道，他的时间复杂度是

const fibonacci = n => {
  let arr = [];
  for(let i = 0; i < n; i++) {
    if(i === 0 || i === 1) arr.push(1);
    else arr.push(arr[i-1] + arr[i-2]);
  }
  return arr[n-1];
}

console.log("fibonacci(10) =>", fibonacci(10));
console.log("fibonacci(20) =>", fibonacci(20));
console.log("fibonacci(30) =>", fibonacci(30));
console.log("fibonacci(40) =>", fibonacci(40));
console.log("fibonacci(45) =>", fibonacci(45));
console.log("fibonacci(100) =>", fibonacci(100));

秒出结果，对于这样的量级也是秒出

fibonacci(10) => 55
fibonacci(20) => 6765
fibonacci(30) => 832040
fibonacci(40) => 102334155
fibonacci(45) => 1134903170
fibonacci(100) => 354224848179262000000

2.3 正推法改进

2.2的正推法的时间复杂度是，但空间复杂度也是，由于在迭代的过程中，只有前两项和当前项对于推算是有意义的，所以在前两项之前的项就无需再缓存下来，用这种方式的空间复杂度也可以降低到

const fibonacci = n => {
  let [first,second,last] = [1,1,undefined];
  if(n === 1 || n === 2) return 1;
  for(let i = 0; i < n-2; i++) {
    last = first + second;
    first = second;
    second = last;
  }
  return last;
}

console.log("fibonacci(10) =>", fibonacci(10));
console.log("fibonacci(20) =>", fibonacci(20));
console.log("fibonacci(30) =>", fibonacci(30));
console.log("fibonacci(40) =>", fibonacci(40));
console.log("fibonacci(45) =>", fibonacci(45));
console.log("fibonacci(100) =>", fibonacci(100));

同样地，结果也是秒出的

fibonacci(10) => 55
fibonacci(20) => 6765
fibonacci(30) => 832040
fibonacci(40) => 102334155
fibonacci(45) => 1134903170
fibonacci(100) => 354224848179262000000

一般工程中如果用到的话，这种方案就可以了，但是想起前段时间有小朋友问的一个初中数学题想到了递推公式和一元二次方程的根的关系。感兴趣的可以看看求解过程【某初中数学题的解法】

2.4 通项公式法

Fibonacci数列等价于以下的条件

这个公式对于人来说求解比较烧CPU，但对于计算机来说就是计算个hash值而已，说句不够严谨的结论，几乎可以认为算法的时间复杂度是了，不过这里忽略Math方法的具体实现细节，相信科学计算包底层都是做过优化的吧！然后装个逼，一行代码就搞定了，只是可读性差了点。

const fibonacci = n => 1/Math.sqrt(5)*(Math.pow((1+Math.sqrt(5))/2,n)-Math.pow((1-Math.sqrt(5))/2,n));

console.log("fibonacci(10) =>", fibonacci(10));
console.log("fibonacci(20) =>", fibonacci(20));
console.log("fibonacci(30) =>", fibonacci(30));
console.log("fibonacci(40) =>", fibonacci(40));
console.log("fibonacci(45) =>", fibonacci(45));
console.log("fibonacci(100) =>", fibonacci(100));

结果秒出, 只是由于用到了无理数irrational，会损失一些精度。

fibonacci(10) => 55
fibonacci(20) => 6765
fibonacci(30) => 832039.9999999999
fibonacci(40) => 102334154.99999999
fibonacci(45) => 1134903169.9999998
fibonacci(100) => 354224848179261800000

最后，如果你纠结通向公式是如何推断出来的，这是一个数学问题，你可以参考【斐波那契数列的通项公式求解】