Bell(hdu4767+矩阵+中国剩余定理+bell数+Stirling数+欧几里德)

Bell

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Description

What? MMM is learning Combinatorics!? 
Looks like she is playing with the bell sequence now: 
bell[n] = number of ways to partition of the set {1, 2, 3, ..., n} 

e.g. n = 3: 
{1, 2, 3} 
{1} {2 3} 
{1, 2} {3} 
{1, 3} {2} 
{1} {2} {3} 
so, bell[3] = 5 

MMM wonders how to compute the bell sequence efficiently. 

 

Input

T -- number of cases 
for each case: 
　　n (1 <= n < 2^31) 

 

Output

for each case: 
　　bell[n] % 95041567 

 

Sample Input

6

1

2

3

4

5

6

 

Sample Output

1

2

5

15

52

203

 

 

首先，我很高兴终于把这题给解出来了！！！自己有几个难点一直没想通，今天无聊的时候一想。然后思路莫名奇妙的顺了，一切都变的理所当然。。。然后，我趁热打铁，把思路一理，就被我A了！

题意：就是求n个数的非空集合的划分方法数；

例如n = 3

{1, 2, 3}

{1}  {2, 3}

{1, 2} {3}

{1, 3} {2}

{1} {2} {3}

所以Bell(3) = 5

给你一个n，求Bell(n) % 95041567的值

 

这道题涉及的知识比较多，，，本人觉得有一定的难度系数，没理解的，建议可以先从入门题刷起；

思路：

　　首先必须了解一个概念贝尔数（来自维基百科）& Stirling数（不懂的点链接）；

　　其次，如果你不懂Stirling数，那么自己动手推一下，其实这个还是简单的，杭电有一题简单的题，可以练习下：

　　http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2512 相信很多同学都做过了，只是当时不知道是Stirling数，这里是第二类Stirling数；然后贝尔数呢，就是第二类Stirling数的和；

通过上面这个公式，我们可以利用矩阵计算大于n的贝尔数，方法是利用中国剩余定理，结合欧几里德和同余方程；首先我们输入n(假设，n>p，p是95041567的质因子，eg:n=50)，对n<50的Bell数进行预处理，构造一个p*p的矩阵；

利用公式求出，他们的余数存入数组at[i];质因子m[5]={31,37,41,43,47};利用中国剩余定理；求得余数！

 

转载请注明出处：寻找&星空の孩子   

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4767

 

  1 #include
  2 #include<string.h>
  3 #define LL long long
  4 #define mod 95041567
  5 #define MM 50
  6 
  7 int m[5]={31,37,41,43,47};
  8 int Sti[MM][MM],bell[MM][MM];
  9 int at[5];//各项余数
 10 
 11 void stirling2()
 12 {
 13     memset(Sti,0,sizeof(Sti));
 14     Sti[0][0]=1;
 15     for(int i=1;i<=MM;i++)
 16     {
 17         for(int j=1;j<=i;j++)
 18         {
 19             Sti[i][j]=(int)(Sti[i-1][j-1]+((LL)j*(LL)Sti[i-1][j])%mod)%mod;
 20         }
 21     }
 22 }
 23 void init()
 24 {
 25     stirling2();
 26     for(int i=0;i<5;i++)
 27     {
 28         bell[i][0]=1;
 29         for(int j=1;j)
 30         {
 31             bell[i][j]=0;
 32             for(int k=1;k<=j;k++)
 33             {
 34                 bell[i][j]=(bell[i][j]+Sti[j][k])%m[i];
 35             }
 36 //            printf("%d\t%d\n",j,bell[i][j]);
 37         }
 38     }
 39 }
 40 struct Matrix
 41 {
 42     int mat[MM][MM];
 43 };
 44 
 45 Matrix multiply(Matrix a,Matrix b,int M)
 46 {
 47     Matrix c;
 48     memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
 49     for(int i=0;i)
 50     {
 51         for(int j=0;j)
 52         {
 53             if(a.mat[i][j]==0)continue;
 54             for(int k=0;k)
 55             {
 56                 if(b.mat[j][k]==0)continue;
 57                 c.mat[i][k]=(c.mat[i][k]+a.mat[i][j]*b.mat[j][k])%M;
 58             }
 59         }
 60     }
 61     return c;
 62 }
 63 Matrix quickmod(Matrix a,int n,int M)
 64 {
 65     Matrix res;
 66 
 67     for(int i=0;i)
 68     {
 69         for(int j=0;j)
 70             res.mat[i][j]=(i==j);
 71     }
 72 
 73     while(n)
 74     {
 75         if(n&1) res=multiply(res,a,M);
 76         n>>=1;
 77         a=multiply(a,a,M);
 78     }
 79     return res;
 80 }
 81 
 82 int work(int n,int M,int k)
 83 {
 84     Matrix per;//基础矩阵；
 85     memset(per.mat,0,sizeof(per.mat));
 86     per.mat[0][M-1]=1;
 87 
 88     for(int i=1;i)
 89     {
 90             per.mat[i][i]=per.mat[i][i-1]=1;
 91     }
 92 
 93     Matrix tmp=quickmod(per,n/(M-1),M);
 94 
 95     int ans[MM];
 96     for(int i=0;i)
 97     {
 98         ans[i]=0;
 99         for(int j=0;j)
100         {
101             ans[i]=(ans[i]+bell[k][j]*tmp.mat[i][j])%M;
102         }
103     }
104     return ans[n%(M-1)];
105 }
106 void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int &y)
107 {
108     if(!b){d=a;x=1;y=0;}
109     else
110     {
111         exgcd(b,a%b,d,y,x);
112         y-=x*(a/b);
113     }
114 }
115 int China(int r)
116 {
117     int Mc=1;
118     int Mi,d,x,y,as=0;
119     for(int i=0;i)
120     {
121         Mc*=m[i];
122     }
123     for(int i=0;i)
124     {
125         Mi=Mc/m[i];
126         exgcd(Mi,m[i],d,x,y);
127         as=(as+Mi*x*at[i])%Mc;
128     }
129     if(as<0) as+=Mc;
130     return as;
131 }
132 int main()
133 {
134     int T,n;
135     scanf("%d",&T);
136 
137     init();
138     while(T--)
139     {
140         scanf("%d",&n);
141         for(int i=0;i<5;i++)
142         {
143             at[i]=work(n,m[i],i);
144         }
145         int sol=China(5);
146         printf("%d\n",sol);
147     }
148 
149     return 0;
150 }

 

 

时间过的好快，居然要期末考了，，，在学校的日子也不多了，aking2015......为了我们共同的梦！fighting！

 

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