关于方差如何用递推求避免后效性

我们将方差进行一个小小的推导：

$$\begin{array}{rl}{n}^2\cdot {\sigma }^2& =n\cdot {\Sigma }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})\\ & =n\cdot ({\Sigma }_{i=1}^n{x}_i^2-2\cdot \bar{x}\cdot {\Sigma }_{i=1}^{n}x+n\cdot x^2)\\ & =n\cdot {\Sigma }_{i=1}^n{x}_i^2-({\Sigma }_{i=1}^n{x}_i{)}^2\end{array}$$

此时我们设 $a_i={\Sigma }_{i=1}^n{x}_i$ ， $b_i={\Sigma }_{i=1}^n{x}_i^2$ ，则：

$$\begin{array}{rl}{n}^2\cdot {\sigma }^2& =n\cdot b_n-a_n^2\\ & =n\cdot (b_{n-1}+x_n^2)-(a_{n-1}+x_n{)}^2\\ & =(n\cdot b_{n-1}-a_{n-1})+(n-1)\cdot x_n^2-2\cdot a_{n-1}\cdot x_n\end{array}$$

于是方差就可以用递推求而避免后面加进来的数字产生影响了。