椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

椭圆的弦：2015年文数全国卷B题20

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上.

（I）求 的方程;

（Ⅱ）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.

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【解答问题I】

代入点 坐标得：

∴

的方程为：

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【解答问题Ⅱ】

椭圆的方程可化为：

因为 两点均在椭圆上，所以

以上两式相减得：

直线 的斜率为 ；直线 的斜率为 .

所以，

证明完毕.

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【提炼与提高】

点差法（平方差法）是解析几何中的重要方法，高考常考，一定要掌握。

记弦的中点为 , 则直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值. 这是一个重要的常用结论。

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