DFT与FFT

回顾离散时间傅里叶级数DFS

$$\boxed{x[n]=\sum _{k=<N>}{a}_k{e}^{jk\frac{2\pi }{N}n}{a}_k=a_{k\pm mN}=\frac{1}{N}\sum _{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi }{N}n}}$$

回顾离散时间傅里叶变换DTFT

$$\boxed{x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X(e^{jw})e^{jwn}dwX(e^{jw})=\sum _{n=\infty }x[n]e^{-jwn}}$$

DFT

要在计算机上实现DTFT，有一个问题就是所需的采样点是无限的，而离散傅里叶变换DFT解决了这个问题，所需的采样点有限，利用有限的采样值确定信号的频谱分量。
DFT定义为：
$X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac{k}{N}n},k=0,1,...,N-1$
时域的采样个数与频域的采样个数相等，因此解决了另外一个问题：$X(e^{jw})$定义在无限个频率上，而$X[k]$定义在有限个k上，易于处理。
把DFT中N个时域采样点看成是处于DFT窗内，位于窗外的采样点不影响分析。
$$\boxed{x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi \frac{k}{N}n}X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}}$$

• DFT与DTFT：当对同一组时域采样信号进行DFT和DTFT时，两者是相符的，DFT是DTFT的采样形式。
• DFT与DFS：DFS在N点上运算，只要DFT也取相同点数，DFS和DFT就相同，区别只是解释不同，DFT是非周期信号加窗后再进行周期延拓所得。

FFT

DFT使得DTFT可以在计算机上实现，而FFT可以得出与DFT一样的结果且运算量要小得多，因此DSP软件包中一般都是应用FFT。
最常用的FFT是基2时域抽取法，基本原理是将一个N点的计算分解为两个N/2的计算，每个N/2的计算再分解为N/4的计算，以此类推。

• 先将时域的N个采样点分为偶采样序列$y[n]=x[2n]$和奇采样序列$z[n]=x[2n+1]$
  $X[k]={\sum }_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}={\sum }_{n=0}^{N/2-1}y[n]e^{-j2\pi \frac{k}{N}(2n)}+{\sum }_{n=0}^{N/2-1}z[n]e^{-j2\pi \frac{k}{N}(2n+1)}$
  $X[k]=Y[k]+e^{-j\frac{2\pi k}{N}}Z[k]$
• 由于$Y[k],Z[k]$是$N/2$点的信号，因此周期为$N/2$
  $X[k]=X[k+N/2]=Y[k]+e^{-j\frac{2\pi k}{N}}Z[k],k=0,1,...,N/2-1$

上述形成了FFT的一个步骤，将N点的DFT分解为N/2点的DFT，以此类推可以不断得进行分解；随着N的增大，FFT的优势将越来越明显。