信号与系统06-系统建模与AI融合

第6课：系统建模与AI融合

课程目标

• 掌握传统系统建模方法（微分方程/差分方程/状态空间）
• 理解动态系统的数学本质与AI建模的共性
• 掌握深度学习中处理时序数据的核心模型（RNN/LSTM）
• 通过代码实践理解系统建模与AI建模的衔接

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1. 传统系统建模方法

1.1 微分方程建模

• 核心思想：用导数关系描述系统动态特性
• 典型应用：电路分析、机械振动、控制系统
• 示例：RLC电路微分方程
  $$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=v_{in}(t)$$
• 特点：
  • 时域连续描述
  • 需要解析解或数值解

1.2 差分方程建模

• 核心思想：用离散时间步长描述系统变化
• 典型应用：数字滤波器、经济预测模型
• 示例：一阶线性差分方程
  $$y[n]=ay[n-1]+bx[n]$$
• 特点：
  • 适合计算机实现
  • 可直接转化为Z变换分析

1.3 状态空间建模

• 核心思想：用状态变量组描述系统全貌
• 数学形式：
  $$\{\begin{array}{l}\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)\\ \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t)\end{array}$$
• 特点：
  • 多输入多输出系统通用描述
  • 适合现代控制理论

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2. AI驱动的系统建模

2.1 从微分方程到神经网络

• 传统建模局限：
  • 需要精确物理规律
  • 非线性系统难以建模
• AI建模优势：
  • 数据驱动建模
  • 自动学习复杂非线性关系

2.2 递归神经网络（RNN）

• 核心结构：
  • 带有循环连接的神经元
  • 记忆单元存储历史信息
• 数学表达：
  $${\mathbf{h}}_t=\sigma ({\mathbf{W}}_{hh}{\mathbf{h}}_{t-1}+{\mathbf{W}}_{xh}{\mathbf{x}}_t)$$
  $${\mathbf{y}}_t={\mathbf{W}}_{hy}{\mathbf{h}}_t$$
• 特点：
  • 处理序列数据的天然能力
  • 存在梯度消失问题

2.3 长短期记忆网络（LSTM）

• 改进方案：
  • 引入门控机制（输入门/遗忘门/输出门）
  • 显式控制信息流
• 核心结构：

  [Forget Gate] → [Input Gate] → [Cell State] → [Output Gate]
  

• 数学表达（简化版）：
  $$f_t=\sigma ({\mathbf{W}}_f\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t])$$
  $$i_t=\sigma ({\mathbf{W}}_i\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t])$$
  $${\tilde{C}}_t=\tanh ({\mathbf{W}}_C\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t])$$
  $$C_t=f_t\odot C_{t-1}+i_t\odot {\tilde{C}}_t$$
  $$o_t=\sigma ({\mathbf{W}}_o\cdot [{\mathbf{h}}_{t-1},{\mathbf{x}}_t])$$
  $$h_t=o_t\odot \tanh (C_t)$$

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3. 系统建模与AI建模的对比

维度	传统系统建模	AI建模（RNN/LSTM）
建模基础	物理规律/经验公式	数据驱动
表达能力	有限（依赖数学形式）	强大（任意非线性关系）
可解释性	高（参数有明确物理意义）	低（黑箱模型）
计算效率	高（解析解/数值解）	中（依赖迭代训练）
适用场景	确定性系统	复杂非线性系统

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4. Python实践：用TensorFlow构建RNN模型

4.1 数据准备

import numpy as np
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import SimpleRNN, Dense

# 生成示例数据：预测下一个数值
def generate_data(seq_len=10, num_samples=1000):
    X, y = [], []
    for _ in range(num_samples):
        seq = np.random.rand(seq_len)
        X.append(seq[:-1])
        y.append(seq[-1])
    return np.array(X), np.array(y)

X, y = generate_data()

4.2 模型构建

model = Sequential([
    SimpleRNN(64, input_shape=(X.shape[1], 1)),
    Dense(1)
])

model.compile(optimizer='adam', loss='mse')

4.3 模型训练

X = X.reshape((X.shape[0], X.shape[1], 1))
history = model.fit(X, y, epochs=20, batch_size=32, validation_split=0.2)

4.4 模型评估

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(history.history['loss'], label='Train Loss')
plt.plot(history.history['val_loss'], label='Val Loss')
plt.legend()
plt.title('Training and Validation Loss')
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('Loss')
plt.grid(True)
plt.show()

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5. 深度学习中的系统建模实践

5.1 时间序列预测

• 案例：股票价格预测
• 实现要点：
  • 数据标准化处理
  • 滑动窗口生成训练样本
  • 使用LSTM捕捉长期依赖

5.2 控制系统优化

• 案例：无人机姿态控制
• 实现要点：
  • 状态空间建模
  • 强化学习框架
  • RNN预测系统响应

5.3 故障诊断系统

• 案例：工业设备异常检测
• 实现要点：
  • 传感器信号预处理
  • LSTM识别异常模式
  • 阈值设定与报警机制

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6. 课堂练习与思考

6.1 习题

1. 推导二阶系统的状态空间表达式
2. 分析RNN在处理长序列时的梯度消失问题
3. 设计一个LSTM模型预测未来3天的温度数据

6.2 思考题

1. 如何将传统控制系统理论与深度学习结合？
2. 在哪些场景下传统建模比AI建模更优？
3. 如何设计混合模型（物理+AI）提升预测精度？

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7. 参考资料

1. RNN与LSTM原理详解
2. TensorFlow官方教程
3. 深度学习在控制系统中的应用
4. 状态空间建模入门