信号与系统仿真：系统稳定性分析_（4）.频域稳定性分析

频域稳定性分析

引言

在信号与系统仿真中，频域稳定性分析是评估系统性能的重要工具之一。频域分析通过研究系统的频率响应特性，可以更直观地了解系统的动态行为和稳定性。本节将详细介绍频域稳定性分析的基本原理、方法和应用，并通过具体的例子和代码来展示如何进行频域稳定性分析。

1. 频率响应与系统稳定性

1.1 频率响应的定义

频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应。对于线性时不变系统（LTI系统），频率响应可以通过系统的传递函数 $H(s)$ 在复平面上的 $s=j\omega$ 处进行计算，得到 $H(j\omega )$。频率响应反映了系统对不同频率输入信号的放大或衰减特性，以及相位的变化。

1.2 频率响应的计算

频率响应可以通过以下步骤计算：

1. 传递函数的定义：设系统的传递函数为 $H(s)$。
2. 复频域替换：将 $s$ 替换为 $j\omega$，得到频率响应 $H(j\omega )$。
3. 幅频响应和相频响应：计算 $H(j\omega )$ 的模 $|H(j\omega )|$ 和相位 $\angle H(j\omega )$。

1.3 例1：计算系统的频率响应

假设一个系统的传递函数为 $H(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}$，我们可以通过以下Python代码计算其频率响应：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqs

# 定义系统的传递函数
num = [1]  # 分子系数
den = [1, 2, 1]  # 分母系数

# 计算频率响应
w, H = freqs(num, den)

# 计算幅频响应和相频响应
magnitude = np.abs(H)
phase = np.angle(H, deg=True)

# 绘制幅频响应图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, 20 * np.log10(magnitude))  # 转换为分贝
plt.title('幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

1.4 频率响应与系统稳定性的关系

系统的稳定性可以通过其频率响应来评估。具体来说，如果系统的频率响应在所有频率上都有界，且不存在正反馈回路，系统通常是稳定的。此外，可以通过Bode图和Nyquist图来进一步分析系统的稳定性。

2. Bode图分析

2.1 Bode图的定义

Bode图是一种常用的频域分析工具，它由两部分组成：幅频响应图和相频响应图。幅频响应图以对数频率为横轴，以分贝为单位的幅值为纵轴；相频响应图以对数频率为横轴，以度为单位的相位为纵轴。

2.2 Bode图的绘制

Bode图可以通过以下步骤绘制：

1. 定义系统的传递函数。
2. 计算频率响应。
3. 绘制幅频响应和相频响应图。

2.3 例2：绘制系统的Bode图

假设一个系统的传递函数为 $H(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，我们可以通过以下Python代码绘制其Bode图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import bode

# 定义系统的传递函数
num = [10]  # 分子系数
den = [1, 5, 10]  # 分母系数

# 计算Bode图
w, mag, phase = bode((num, den))

# 绘制幅频响应图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)  # 转换为分贝
plt.title('幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

2.4 Bode图与稳定性判据

Bode图可以用来判断系统的稳定性。具体来说，可以通过以下两个判据：

1. 相位裕度：相位裕度是指在增益为1（0 dB）的频率处，相位响应与-180度的差值。如果相位裕度大于0度，系统通常是稳定的。
2. 增益裕度：增益裕度是指在相位响应为-180度的频率处，增益响应与1（0 dB）的差值。如果增益裕度大于1（0 dB），系统通常是稳定的。

2.5 例3：计算系统的相位裕度和增益裕度

假设一个系统的传递函数为 $H(s)=\frac{1}{s^2+0.1s+1}$，我们可以通过以下Python代码计算其相位裕度和增益裕度：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import bode, margin

# 定义系统的传递函数
num = [1]  # 分子系数
den = [1, 0.1, 1]  # 分母系数

# 计算Bode图
w, mag, phase = bode((num, den))

# 计算相位裕度和增益裕度
gm, pm, wg, wp = margin(mag, phase, w)

# 绘制Bode图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)  # 转换为分贝
plt.title('幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

# 输出相位裕度和增益裕度
print(f"相位裕度: {pm} 度")
print(f"增益裕度: {gm} dB")

plt.tight_layout()
plt.show()

3. Nyquist图分析

3.1 Nyquist图的定义

Nyquist图是另一种常用的频域稳定性分析工具，它通过绘制系统的频率响应 $H(j\omega )$ 在复平面上的轨迹来评估系统的稳定性。Nyquist图可以直观地显示系统的增益裕度和相位裕度。

3.2 Nyquist图的绘制

Nyquist图可以通过以下步骤绘制：

1. 定义系统的传递函数。
2. 计算频率响应。
3. 绘制频率响应的复平面轨迹。

3.3 例4：绘制系统的Nyquist图

假设一个系统的传递函数为 $H(s)=\frac{1}{s^2+0.1s+1}$，我们可以通过以下Python代码绘制其Nyquist图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqs

# 定义系统的传递函数
num = [1]  # 分子系数
den = [1, 0.1, 1]  # 分母系数

# 计算频率响应
w, H = freqs(num, den)

# 绘制Nyquist图
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(np.real(H), np.imag(H), label='Nyquist轨迹')
plt.plot([-1, 0], [0, 0], 'r--', label='-1+j0线')
plt.title('Nyquist图')
plt.xlabel('实部')
plt.ylabel('虚部')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

3.4 Nyquist图与稳定性判据

Nyquist图可以通过以下稳定性判据来评估系统的稳定性：

1. Nyquist稳定性判据：如果Nyquist轨迹不包围点 $-1+j0$，且系统的开环传递函数在右半平面的极点数为0，系统通常是稳定的。
2. 增益裕度和相位裕度：通过分析Nyquist轨迹与 $-1+j0$点的相对位置，可以计算系统的增益裕度和相位裕度。

3.5 例5：计算系统的Nyquist稳定性

假设一个系统的传递函数为 $H(s)=\frac{1}{s^2+0.1s+1}$，我们可以通过以下Python代码计算其Nyquist稳定性：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqs, nyquist

# 定义系统的传递函数
num = [1]  # 分子系数
den = [1, 0.1, 1]  # 分母系数

# 计算频率响应
w, H = freqs(num, den)

# 绘制Nyquist图
plt.figure(figsize=(8, 8))
nyquist((num, den), w)
plt.plot([-1, 0], [0, 0], 'r--', label='-1+j0线')
plt.title('Nyquist图')
plt.xlabel('实部')
plt.ylabel('虚部')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

4. 闭环系统的频域稳定性分析

4.1 闭环系统的定义

闭环系统是指包含反馈回路的系统。闭环系统的传递函数可以通过开环传递函数 $G(s)H(s)$ 来计算，其中 $G(s)$ 是前向传递函数， $H(s)$ 是反馈传递函数。

4.2 闭环系统的频率响应

闭环系统的频率响应可以通过以下公式计算：

$$T(j\omega )=\frac{G(j\omega )H(j\omega )}{1+G(j\omega )H(j\omega )}$$

4.3 例6：计算闭环系统的频率响应

假设一个前向传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，反馈传递函数为 $H(s)=1$，我们可以通过以下Python代码计算其闭环系统的频率响应：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqs

# 定义前向传递函数
num_G = [10]  # 分子系数
den_G = [1, 5, 10]  # 分母系数

# 定义反馈传递函数
num_H = [1]  # 分子系数
den_H = [1]  # 分母系数

# 计算开环传递函数的频率响应
w, G = freqs(num_G, den_G)
w, H = freqs(num_H, den_H)

# 计算闭环传递函数的频率响应
T = G * H / (1 + G * H)

# 计算幅频响应和相频响应
magnitude = np.abs(T)
phase = np.angle(T, deg=True)

# 绘制幅频响应图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, 20 * np.log10(magnitude))  # 转换为分贝
plt.title('闭环系统的幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('闭环系统的相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

4.4 闭环系统的Bode图分析

闭环系统的Bode图可以用来评估系统的稳定性。通过分析闭环系统的Bode图，可以了解系统的增益裕度和相位裕度。

4.5 例7：绘制闭环系统的Bode图

假设一个前向传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，反馈传递函数为 $H(s)=1$，我们可以通过以下Python代码绘制其闭环系统的Bode图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import bode, feedback

# 定义前向传递函数
num_G = [10]  # 分子系数
den_G = [1, 5, 10]  # 分母系数

# 定义反馈传递函数
num_H = [1]  # 分子系数
den_H = [1]  # 分母系数

# 计算闭环传递函数
num_T, den_T = feedback(num_G, den_G, num_H, den_H)

# 计算Bode图
w, mag, phase = bode((num_T, den_T))

# 绘制幅频响应图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)  # 转换为分贝
plt.title('闭环系统的幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('闭环系统的相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

4.6 闭环系统的Nyquist图分析

闭环系统的Nyquist图可以通过分析开环传递函数的Nyquist图来评估系统的稳定性。如果开环传递函数的Nyquist轨迹不包围点 $-1+j0$，且系统的开环传递函数在右半平面的极点数为0，闭环系统通常是稳定的。

4.7 例8：绘制闭环系统的Nyquist图

假设一个前向传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，反馈传递函数为 $H(s)=1$，我们可以通过以下Python代码绘制其闭环系统的Nyquist图：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import nyquist, freqs

# 定义前向传递函数
num_G = [10]  # 分子系数
den_G = [1, 5, 10]  # 分母系数

# 定义反馈传递函数
num_H = [1]  # 分子系数
den_H = [1]  # 分母系数

# 计算开环传递函数的频率响应
w, G = freqs(num_G, den_G)
w, H = freqs(num_H, den_H)

# 计算开环传递函数
GH = G * H

# 绘制Nyquist图
plt.figure(figsize=(8, 8))
nyquist((num_G, den_G, num_H, den_H), w)
plt.plot([-1, 0], [0, 0], 'r--', label='-1+j0线')
plt.title('闭环系统的Nyquist图')
plt.xlabel('实部')
plt.ylabel('虚部')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

5. 频域稳定性分析的应用

5.1 控制系统的稳定性分析

频域稳定性分析在控制系统的稳定性分析中具有广泛应用。通过Bode图和Nyquist图，可以评估闭环控制系统的稳定性，并进行参数优化。这些工具不仅提供了系统的频率响应特性，还能够直观地显示系统的增益裕度和相位裕度，从而帮助设计者调整控制器参数以确保系统的稳定性和性能。

5.2 例9：控制系统的稳定性分析

假设一个控制系统的前向传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，反馈传递函数为 $H(s)=1$，我们可以通过以下Python代码进行稳定性分析：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import bode, nyquist, margin, feedback

# 定义前向传递函数
num_G = [10]  # 分子系数
den_G = [1, 5, 10]  # 分母系数

# 定义反馈传递函数
num_H = [1]  # 分子系数
den_H = [1]  # 分母系数

# 计算闭环传递函数
num_T, den_T = feedback(num_G, den_G, num_H, den_H)

# 计算Bode图
w, mag, phase = bode((num_T, den_T))

# 计算相位裕度和增益裕度
gm, pm, wg, wp = margin(mag, phase, w)

# 绘制Bode图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.semilogx(w, mag)  # 转换为分贝
plt.title('闭环系统的幅频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('幅值 (dB)')
plt.grid(True)

# 绘制相频响应图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.title('闭环系统的相频响应')
plt.xlabel('频率 (rad/s)')
plt.ylabel('相位 (度)')
plt.grid(True)

# 输出相位裕度和增益裕度
print(f"相位裕度: {pm} 度")
print(f"增益裕度: {gm} dB")

plt.tight_layout()
plt.show()

5.3 例10：优化控制系统的稳定性

假设我们有一个需要优化的控制系统，其前向传递函数为 $G(s)=\frac{10}{s^2+5s+10}$，反馈传递函数为 $H(s)=1$。我们可以通过调整前向传递函数中的增益 $K$ 来优化系统的稳定性。我们将通过绘制不同增益 $K$ 下的Bode图和Nyquist图来分析系统的稳定性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import bode, nyquist, margin, feedback

# 定义前向传递函数和反馈传递函数
num_H = [1]  # 反馈传递函数的分子系数
den_H = [1]  # 反馈传递函数的分母系数

# 定义不同增益下的前向传递函数
K_values = [1, 5, 10, 20]

plt.figure(figsize=(16, 10))

# 绘制不同增益下的Bode图
for K in K_values:
    num_G = [K * 10]  # 前向传递函数的分子系数
    den_G = [1, 5, 10]  # 前向传递函数的分母系数

    # 计算闭环传递函数
    num_T, den_T = feedback(num_G, den_G, num_H, den_H)

    # 计算Bode图
    w, mag, phase = bode((num_T, den_T))

    # 计算相位裕度和增益裕度
    gm, pm, wg, wp = margin(mag, phase, w)

    # 绘制幅频响应图
    plt.subplot(2, 2, 1)
    plt.semilogx(w, mag, label=f'K={K}')
    plt.title('不同增益下的幅频响应')
    plt.xlabel('频率 (rad/s)')
    plt.ylabel('幅值 (dB)')
    plt.grid(True)
    plt.legend()

    # 绘制相频响应图
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.semilogx(w, phase, label=f'K={K}')
    plt.title('不同增益下的相频响应')
    plt.xlabel('频率 (rad/s)')
    plt.ylabel('相位 (度)')
    plt.grid(True)
    plt.legend()

    # 绘制Nyquist图
    plt.subplot(2, 2, 3)
    w, GH = freqs(num_G, den_G)
    nyquist((num_G, den_G, num_H, den_H), w)
    plt.plot([-1, 0], [0, 0], 'r--', label='-1+j0线')
    plt.title(f'K={K} 时的Nyquist图')
    plt.xlabel('实部')
    plt.ylabel('虚部')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.axis('equal')

plt.tight_layout()
plt.show()

5.4 频域稳定性分析的局限性

虽然频域稳定性分析方法（如Bode图和Nyquist图）在评估系统的稳定性方面非常有效，但也存在一些局限性：

1. 非线性系统：频域分析方法主要适用于线性时不变系统（LTI系统）。对于非线性系统，这些方法可能不适用。
2. 高阶系统：对于高阶系统，频域分析可能变得复杂，难以直观地理解系统的动态行为。
3. 时间延迟：频域分析方法在处理具有时间延迟的系统时有一定的困难，因为时间延迟会导致相位响应的复杂变化。

5.5 结论

频域稳定性分析是评估和优化控制系统性能的重要工具。通过Bode图和Nyquist图，可以直观地了解系统的频率响应特性，并计算系统的相位裕度和增益裕度。这些方法不仅有助于判断系统的稳定性，还可以指导设计者调整控制器参数以提高系统的性能和鲁棒性。然而，频域分析方法也有其局限性，特别是在处理非线性系统和高阶系统时需要谨慎使用。

6. 进一步阅读和资源

6.1 书籍推荐

1. 《现代控制工程》 - Katsuhiko Ogata
2. 《自动控制系统》 - Benjamin C. Kuo
3. 《频域方法在控制系统中的应用》 - Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini

6.2 在线资源

1. Scipy文档 - https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/signal.html
2. MATLAB文档 - https://www.mathworks.com/help/control/index.html
3. 维基百科 - https://en.wikipedia.org/wiki/Frequency_response

6.3 实践建议

1. 多尝试不同的传递函数：通过实践不同的传递函数，可以更好地理解频域分析方法的适用性和局限性。
2. 结合时域分析：频域分析和时域分析相结合，可以更全面地评估系统的性能。
3. 使用专业的控制设计工具：如MATLAB的Control System Toolbox等，可以更方便地进行频域稳定性分析和控制系统设计。

通过本节的介绍和示例，希望读者能够掌握频域稳定性分析的基本原理和方法，并在实际控制系统设计中灵活应用这些工具。