HDU 1575 Tr A （矩阵乘法）

Tr A

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Problem Description

A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。

Output

对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。

Sample Input

2

2 2

1 0

0 1

3 99999999

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Sample Output

2

2686

Author

xhd

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

 矩阵乘法模板题

给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。

 

　　由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4 = A * A * A * A = (A*A) * (A*A) = A^2 * A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2)；当n为奇数时，A^n = A^(n/2) * A^(n/2) * A （其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据 这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。

 

递归实现POW函数

Matrix POW( Matrix t,int k )

{

       if( k == 1 )

           return t;

       Matrix t1 = POW( t, k/2 );

       t1 = t1*t1;

       if( k & 1 )

           return t1 * t;

       else

           return t1;

}

递归的容易理解，但时间花费较多。

 

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>



using namespace std;



const int mod=9973;



int n,k;



struct Matrix{

    int arr[12][12];

};



Matrix init,unit;



Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){

    Matrix c;

    for(int i=0;i<n;i++)

        for(int j=0;j<n;j++){

            c.arr[i][j]=0;

            for(int k=0;k<n;k++)

                c.arr[i][j]=(c.arr[i][j]+a.arr[i][k]*b.arr[k][j]%mod)%mod;

            c.arr[i][j]%=mod;

        }

    return c;

}



Matrix Pow(Matrix a,Matrix b,int x){

    while(x){

        if(x&1){

            b=Mul(b,a);

        }

        x>>=1;

        a=Mul(a,a);

    }

    return b;

}



int main(){



    //freopen("input.txt","r",stdin);



    int t;

    scanf("%d",&t);

    while(t--){

        scanf("%d%d",&n,&k);

        for(int i=0;i<n;i++)

            for(int j=0;j<n;j++){

                scanf("%d",&init.arr[i][j]);

                unit.arr[i][j]=init.arr[i][j];

            }

        Matrix res=Pow(init,unit,k-1);

        int ans=0;

        for(int i=0;i<n;i++)

            ans=(ans+res.arr[i][i])%mod;

        printf("%d\n",ans%mod);

    }

    return 0;

}

 

 一些练习：

POJ  3070 Fibonacci： http://poj.org/problem?id=3070

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>



using namespace std;



struct Matrix{

    int m[2][2];

};



Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){

    Matrix c;

    for(int i=0;i<2;i++)

        for(int j=0;j<2;j++){

            c.m[i][j]=0;

            for(int k=0;k<2;k++)

                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];

            c.m[i][j]%=10000;

        }

    return c;

}



Matrix Pow(int k){

    Matrix unit,res;

    for(int i=0;i<2;i++)

        for(int j=0;j<2;j++){

            unit.m[i][j]=res.m[i][j]=(i+j==2)?0:1;

        }

    while(k){

        if(k&1){

            res=Mul(res,unit);

        }

        unit=Mul(unit,unit);

        k>>=1;

    }

    return res;

}



int main(){



    //freopen("input.txt","r",stdin);



    int n;

    while(~scanf("%d",&n) && n!=-1){

        Matrix tmp=Pow(n);

        /*

        printf("-----------------\n");

        for(int i=0;i<2;i++){

            for(int j=0;j<2;j++)

                printf("%d ",tmp.m[i][j]);

            printf("\n");

        }

        printf("-----------------\n");

        */

        printf("%d\n",tmp.m[1][1]);

    }

    return 0;

}

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HDU  1005 Number Sequence: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1005 

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>



using namespace std;



struct Matrix{

    int m[2][2];

};



int A,B,n;



Matrix Mul(Matrix a,Matrix b){

    Matrix c;

    for(int i=0;i<2;i++)

        for(int j=0;j<2;j++){

            c.m[i][j]=0;

            for(int k=0;k<2;k++)

                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];

            c.m[i][j]%=7;

        }

    return c;

}



Matrix Pow(int k){

    Matrix res,unit;

    for(int i=0;i<2;i++)

        for(int j=0;j<2;j++)

            res.m[i][j]=(i!=j)?0:1;

    unit.m[0][0]=0;

    unit.m[0][1]=B;

    unit.m[1][0]=1;

    unit.m[1][1]=A;

    while(k){

        if(k&1){

            res=Mul(res,unit);

        }

        unit=Mul(unit,unit);

        k>>=1;

    }

    return res;

}



int main(){



    //freopen("input.txt","r",stdin);



    while(~scanf("%d%d%d",&A,&B,&n)){

        if(A==0 && B==0 && n==0)

            break;

        if(n==1 || n==2){

            printf("1\n");

            continue;

        }

        Matrix res=Pow(n-2);

        printf("%d\n",(res.m[0][1]+res.m[1][1])%7);

    }

    return 0;

}

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