扩展欧几里得定理详解和运用(就不信你看不懂！）

1 ：扩展欧几里得内容：

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by =c.(若 c%gcd(a,b)!=0）则无解
所以 我们求ax+by=c是不是可以转化为求 ax+by=kgcd(a,b) k为整数呢？
ex1：
最大公因数的这个公式大家都认识吧？
gcd（a,b)=gcd(b,a%b);
所以我们看：(用b代替a,a%b代替b）
ax+by=kgcd(a,b);
bx+（a%b)y=gcd(b,a%b)k=gcd(a,b)k;
故 ax+by=bx+（a%b）y；
又因为：a%b=a-a/bb；
故 ax+by=bx+（a%b）y=bx+(a-a/b*b)*y;
看懂了没 ？
没懂 冷静分析 go to ex1
故我们解得

由此我们成功得到递归式以及边界条件,可以求解方程了,每次只需要递归exgcd(b,a mod b,x,y) ,然后处理一下即可得到方程ax+ by= gcd(a,b)的一组解。
对于求解方程ax + by= c(gcd(a,b) | c),只需求解出方程ax + by= gcd(a,b) 的一组解,将x, y分别乘上k即可得到ax + by= c(gcd(a,b) |c)的一组解。(k=c/gcd(a,b))
至此 ，扩展欧几里得定理便解决了。
接下来我们讲运用：
1：求解模线性方程

这是扩展欧几里得最常用的用法，比如求 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解；
（这里有人可能要问了，这和ax+by=c有啥关系？）
首先,题目保证了gcd(a,b)一定是1（不然无解）
我们设r=ax%b, 有ax=bk+r
然后ax ≡ 1 (mod b)就转换为了ax-bk=1
然后我们再设 y=-k,方程就转换成了 ax+by=1
即ax + b*y = gcd(a,b) = 1
就是妥妥的扩展欧几里得算法嘛！！！ 递归求x的值就好啦！！！！
这里我还要提一下：（取模的时候可能出现负数，记得取模的时候+mod然后%mod)

void exgcd(long long a,long long b)
{
    if(b==0) //当b=0时就是遇到了特解，可以递归回去算答案了
    {
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b);
    long long k;
    k=x;
    x=y;
    y=k-(a/b)*y;
}

2：乘法逆元

int gcd(int a,int b,int &ar,int &br)
{
    int x1,x2,x3;
    int y1,y2,y3;
    int t1,t2,t3;
    if(0==a)//有一个数为0,就不存在乘法逆元
    {
        ar=0;br=0;
        return b;
    }
    if(0==b)
    {
        ar=0;br=0;
        return a;
    }
    x1=1;x2=0;x3=a;
    y1=0;y2=1;y3=b;
    int nk;
    for(t3=x3%y3;t3!=0;t3=x3%y3)
    {
        k=x3/y3;
        t2=x2-k*y2;t1=x1-k*y1;
        x1=y1;x2=y2;x3=y3;
        y1=t1;y2=t2;y3=t3;
    }
    if(y3==1)//有乘法逆元
    {
        ar=(y2+b)%b;//对求出来负的乘法逆元进行处理，使之在模b的完全剩余集里
        br=(y1+a)%a;//原来这里是错的
        return 1;
    }
    else//公约数不为1,无乘法逆元
    {
        ar=0;
        br=0;
        return y3;
    }
}

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