数论专题R1（线性筛专题）

目录

A 反素数加强版

B 约数积函数

C h(n)

D g(n)                                                          

E 神必的函数

F 球与盒子 

总结

A 反素数加强版

时空限制

1s,32MB

问题描述

     如果一个大于等于1的正整数n，满足所有小于n且大于等于1的所有正整数的约数个数都小于n的约数个数，则n是一个反素数。请你计算不大于n的最大反素数。

输入格式

第一行输入数据组数T，每组数据输入1个正整数n。 

输出格式

对每组数据，输出不大于n的最大反素数。 

数据范围

1<=T<=100,1<=n<=1e18。

 思路

       由数据范围可得时间复杂度为O(T+log(n))。

       对于n=p1^r1*p2^r2*...*pk^rk(p为质数&&r>=1)的约数个数为(r1+1)*(r2+1)*...*(rk+1)。 

       又因为前15个质数之积大于1e18，所以只用dfs枚举前15个质数头上的指数，并将它们组合起来即可。

        优化（剪枝）：对于题目要求的n，rx>=ry(x<=y)，即更小质数头上的指数一定小于等于更大质数头上的指数。感性理解，如果我在3的指数上加一，为什么不在2头上加一个呢，这样ans一样而且目前的数还要小一点，后面添加的东西还会更多一点。

代码

        我加了个__int128，但是可以通过tp

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define int __int128
using namespace std;
long long t,n;
long long p[]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47};
struct node{
	int cnt1,ans1;
}ans;
void dfs(long long num,long long r,int cnt,int sum,long long lr)
{	
	if(r>lr)return;
	__int128 tp=sum*(long long)pow(p[num],r);
	if(tp*p[num]>n)
	{
		if(ans.cnt1tp)))
		{
			ans.cnt1=cnt*(r+1),ans.ans1=tp;
		}
	}
	if(tp*p[num]<=n)
	{
		dfs(num,r+1,cnt,sum,lr);
	}
	if(tp*p[num+1]<=n&&num<=14)
	{
		dfs(num+1,0,cnt*(r+1),tp,r);
	}
}
void w(__int128 x)
{
	if(x<0)
	{
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9)w(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		dfs(1,0,1,1,100);
		w(ans.ans1);
		printf("\n");
		ans.ans1=0,ans.cnt1=0;
	}
	return 0;
}

注释：num：现在枚举到第几个质数。

           r：现在枚举到的质数头上的指数。

           cnt：除开现在枚举到的指数外，总数的因数个数。

           sum：除开现在枚举到的指数外的总数。

           lr:上一个质数的指数。

B 约数积函数

时空限制

1s,256MB

问题描述

约数积函数(n)，表示n的所有约数的乘积。

输入格式

第一行输入数据组数T，对每组数据：

输入一个整数 n。

输出格式

对每组数据，输出一个整数，表示(n)对1e9+7取模。  

数据范围

1<=T<=1e5,1<=n<=1e7 。

思路

        看数据可知时间复杂度为O(n+T)。

        因为约数是俩俩成对的，所以我们只需要算出它有多少对约数即可。然后判断它是不是完全平方数。  很6呀！

        问题是怎么算约数个数？

        这就要请出R1的关键算法欧拉筛（线性筛）了。

        欧拉筛模板：      

void ol(int N)
{
    for(int i=2;i

        它之所以是线性的，是因为每个数只被筛到一次且只会被它的最小质因子筛到。

        所以可以将枚举的i分为两类，一类是已经有p[j]这个质因子(if(i%p[j]==0))，一类没有(else)。

        我们设r[i]表示i最小质因子的指数，d[i]表示i的因数个数。

        可推得：

                当i%p[j]==0时:

                        r[i*p[j]]=r[i]+1,d[i*p[j]]=d[i]/(r[i]+1)*(r[i]+2)

                         分析（p[j]即为p1