不等式约束的序列二次规划(SQP)

讲完等式约束的SQP，接下来就是不等式约束的SQP,其实两者的算法是完全没有区别的，唯一的就是因为引入了不等式约束，再推导上面就会去考虑近似KKT条件，从这个角度进行思考。解当前的问题就是解这个问题的对偶问题，两者在对偶间隙为0的时候取到最优点，取得的最优点满足KKT条件。

接下来就是SQP with inequality constraints的推导，解如下的问题：

离散化后，我们现在要做的就是在第K步的x_k和mu_k的基础上，找到一个方向，使得x_k+1和mu_k+1能够逼近下面的kkt条件：

离散化后的写法为：

对拉格朗日函数的一阶导数和二阶导数为：

由此可以将上面的KKT条件改写为：

这个KKT条件的写法，其实就是如下二次规划问题的KKT条件：

我们通过求解这个QP问题，得到delta,再根据

求解mu, 这样就获得了新的x和mu,然后继续迭代求解，知道满足终止条件。整个算法如下：