数值计算---非线性方程的数值解法

非线性方程的数值解法

逐步搜索法

设单值连续函数f(x)在有根区间[a,b],不妨假定f(a)<0,从x0=a出发，按预定步长h（譬如取h=(b-a)/N,N为正整数)，一步一步地向右跨，每跨一 步进行一 次根的“搜索”，即查点xk=a+kh, k=1, 2, …上的函数值f(x})的符号，一 旦发现xk处与a处函数值异号，f(xk)>0,则可确定一一个缩小了的有根区间[xk-1,xk],其宽度等于预定的步长h。特别地可能有f(xk)=0,这时xk即为所求的根。

区间二分法

给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤为:
确定区间[a,b]，验证f(a). f(b)<0;
令c=(a+b)/2,计算f©:若f©=0， 则c就是函数的零点;
若f(a)f©<0，则令b=c (此时零点x。∈(a,c));
若f©. f(b)<0，则令a=c (此时零点x∈(c,b)).;
判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a或b (或是区间(a,b)内任个一数);否则重复上一步。
例如:用二分法求f(x)=2*+x-2的零点时，首先由f(0)<0, f(1)>0，可取区间[0,1].再计算1/2处的函数值，得f(1/2)<0，于是零点在(1/2,1)之间，在计算f(3/4)的值，。。。。。，依次推导下去，直到找到零点或零点的接近值

迭代法

迭代法是一种逐次逼近的方法，它用某个固定公式反复校准根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精确要求的结果。

对非线性方程，利用递推关系式，从 开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；
对于线性方程组，由关系 从开始依次计算来过近方程的解的方法。若对某一正整数，当时，与k无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。

一般可以做如下定义：对于给定的线性方程组（这里的x、B、f同为矩阵，任意线性方程组都可以变换成此形式），用公式（代表迭代k次得到的x，初始时k=0)逐步带入求近似解的方法称为迭代法（或称一阶定常迭代法）。如果存在，记为x*，称此迭代法收敛。显然x*就是此方程组的解，否则称为迭代法发散。
1.区间收敛性
2.局部收敛性
3.全局收敛性

牛顿迭代法

牛顿迭代公式：

牛顿下山法：

迭代法的解题思路：
一、确定迭代变量
二、建立迭代关系式
三、对迭代过程进行控制

弦截法

1.单点弦法

得到如下公式：

给定初值x。，x1，称公式为单点弦截法
单点弦截法具有线性收敛。
2.双点弦截法：

得到如下公式：

给定初值x。，x1，称公式为双点弦截法双
点弦截法具有1.618阶收敛。